Экспериментальное исследование, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 28. Угловое ускорение. Равноускоренное движение по окружности. Вопросы - страница 151.

Условие.

Экспериментальное исследование

На вращающемся диске находятся одинаковые маятники 1, 2 и 3. Они расположены на разных расстояниях от закреплённой оси вращения $\text{O}$ (рис. 112). Считая вращающийся диск твёрдым телом, ответьте на следующие вопросы.

a) Какие физические величины не будут изменяться при равномерном вращении диска?

б) Какие физические величины будут изменяться, если маятники вместе с диском совершают равноускоренное движение по окружности?

Рис. 112

Решение.

а) Какие физические величины не будут изменяться при равномерном вращении диска?

При равномерном вращении диска его угловая скорость $ \omega $ постоянна. Поскольку диск является твёрдым телом, все его точки, включая точки подвеса маятников, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Следовательно, и сами маятники вращаются вместе с диском с той же постоянной угловой скоростью.

В этом случае постоянными будут следующие физические величины:

1. Угловая скорость ($ \omega $), период вращения ($ T = 2\pi/\omega $) и частота вращения ($ f = 1/T $). Эти величины характеризуют вращение диска как целого и по определению равномерного вращения являются постоянными.

2. Модуль линейной скорости ($\text{v}$) для каждого маятника. Линейная скорость связана с угловой скоростью соотношением $ v = \omega R $, где $ R $ — расстояние от маятника до оси вращения. Так как $ \omega $ и $ R $ для каждого конкретного маятника постоянны, модуль его линейной скорости также будет постоянным. При этом вектор линейной скорости $ \vec{v} $ постоянно меняет своё направление.

3. Модуль центростремительного ускорения ($a_c$) для каждого маятника. Величина центростремительного ускорения определяется формулой $ a_c = \omega^2 R $. Так как $ \omega $ и $ R $ для каждого маятника — величины постоянные, модуль его центростремительного ускорения также не изменяется. Вектор центростремительного ускорения $ \vec{a_c} $ постоянно меняет направление.

4. Угол отклонения маятника от вертикали ($ \theta $). В системе отсчета, связанной с диском, на шарик маятника действует центробежная сила инерции $ F_{цб} = m a_c = m \omega^2 R $, направленная от центра. Эта сила уравновешивается горизонтальной составляющей силы натяжения нити. Из условия равновесия сил следует, что тангенс угла отклонения $ \tan(\theta) = \frac{F_{цб}}{mg} = \frac{m \omega^2 R}{mg} = \frac{\omega^2 R}{g} $. Поскольку для каждого маятника величины $ \omega $, $ R $ и $ g $ постоянны, угол его отклонения также будет постоянным.

5. Кинетическая и потенциальная энергия каждого маятника. Кинетическая энергия $ K = \frac{1}{2}mv^2 $ постоянна, так как масса $ m $ и модуль скорости $ v $ не меняются. Потенциальная энергия $ U = mgh $, где $ h = L(1-\cos\theta) $ (L — длина нити), также постоянна, поскольку угол отклонения $ \theta $ не меняется.

Ответ: При равномерном вращении диска не будут изменяться: угловая скорость, период и частота вращения. Для каждого отдельного маятника также будут постоянными: модуль линейной скорости, модуль центростремительного ускорения, угол отклонения от вертикали, кинетическая и потенциальная энергия.

б) Какие физические величины будут изменяться, если маятники вместе с диском совершают равноускоренное движение по окружности?

При равноускоренном вращении диска его угловое ускорение $ \epsilon $ постоянно и отлично от нуля ($ \epsilon = \text{const} \neq 0 $). Это означает, что угловая скорость диска и маятников изменяется со временем.

В этом случае будут изменяться следующие физические величины:

1. Угловая скорость ($ \omega $). Она будет изменяться со временем по линейному закону $ \omega(t) = \omega_0 + \epsilon t $.

2. Период вращения ($ T = 2\pi/\omega $) и частота вращения ($ f = \omega/2\pi $). Так как угловая скорость непрерывно изменяется, то же самое происходит с периодом и частотой.

3. Модуль линейной скорости ($\text{v}$) каждого маятника. Поскольку $ v = \omega R $ и угловая скорость $ \omega $ изменяется, модуль линейной скорости также будет изменяться со временем.

4. Модуль центростремительного ускорения ($a_c$). Он равен $ a_c = \omega^2 R $. Так как $ \omega $ изменяется, модуль центростремительного ускорения тоже будет изменяться. Кроме того, у маятников появится тангенциальное ускорение $ a_t = \epsilon R $, модуль которого будет постоянен для каждого маятника. Модуль полного ускорения $ a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \sqrt{(\omega^2 R)^2 + (\epsilon R)^2} $ также будет изменяться из-за изменения $ \omega $.

5. Угол отклонения маятника от вертикали ($ \theta $). При равноускоренном вращении на маятник в горизонтальной плоскости действует не только центробежная сила инерции $ F_{цб} = m\omega^2 R $, но и тангенциальная сила инерции $ F_t = m a_t = m \epsilon R $. Результирующая горизонтальная сила инерции будет равна $ F_h = \sqrt{F_{цб}^2 + F_t^2} $. Тангенс угла отклонения $ \theta $ будет зависеть от этой силы: $ \tan(\theta) = \frac{F_h}{mg} $. Поскольку $ F_h $ изменяется из-за изменения $ \omega $, угол отклонения $ \theta $ также будет изменяться со временем.

6. Кинетическая и потенциальная энергия каждого маятника. Кинетическая энергия $ K = \frac{1}{2}mv^2 $ будет изменяться, так как изменяется модуль скорости $ v $. Потенциальная энергия $ U = mgh $ также будет изменяться, так как изменяется угол отклонения $ \theta $ и, следовательно, высота подъёма $ h $.

Ответ: При равноускоренном вращении диска будут изменяться: угловая скорость, период и частота вращения, модуль линейной скорости, модуль центростремительного и полного ускорения, угол отклонения маятников от вертикали, их кинетическая и потенциальная энергия.