Номер 2, страница 144 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 27. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения тел. Задания и упражнения - номер 2, страница 144.

Условие.

2. Тележка массой $0.3 \text{ кг}$ движется поступательно со скоростью, модуль которой равен $1 \text{ м/с}$, и сталкивается с неподвижной тележкой массой $0.1 \text{ кг}$. Найдите модуль скорости движения тележки после их взаимодействия. Столкновение тележек считать упругим. Трением при движении пренебречь.

Решение.

Дано:

$m_1 = 0,3$ кг (масса первой тележки)
$v_1 = 1$ м/с (начальная скорость первой тележки)
$m_2 = 0,1$ кг (масса второй тележки)
$v_2 = 0$ м/с (начальная скорость второй тележки)

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$v'_1$ — ? (скорость первой тележки после столкновения)
$v'_2$ — ? (скорость второй тележки после столкновения)

Решение:

Поскольку трением можно пренебречь, систему из двух тележек можно считать замкнутой. Столкновение тележек является упругим. Это означает, что для решения задачи можно применить два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

1. Закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения.

В векторной форме: $m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = m_1 \vec{v'_1} + m_2 \vec{v'_2}$

Спроецируем уравнение на ось X, направленную вдоль начального движения первой тележки. Так как вторая тележка неподвижна ($v_2 = 0$), уравнение примет вид:

$m_1 v_1 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии. Так как столкновение упругое, полная кинетическая энергия системы сохраняется.

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 {v'_1}^2}{2} + \frac{m_2 {v'_2}^2}{2}$

Учитывая, что $v_2 = 0$, и умножив обе части на 2, получим:

$m_1 v_1^2 = m_1 {v'_1}^2 + m_2 {v'_2}^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $v'_1$ и $v'_2$. Решим ее.

Из уравнения (1) выразим $m_2 v'_2$: $m_2 v'_2 = m_1(v_1 - v'_1)$

Из уравнения (2) выразим $m_2 {v'_2}^2$: $m_2 {v'_2}^2 = m_1(v_1^2 - {v'_1}^2) = m_1(v_1 - v'_1)(v_1 + v'_1)$

Разделим второе полученное выражение на первое:

$\frac{m_2 {v'_2}^2}{m_2 v'_2} = \frac{m_1(v_1 - v'_1)(v_1 + v'_1)}{m_1(v_1 - v'_1)}$

$v'_2 = v_1 + v'_1$

Подставим это выражение для $v'_2$ в уравнение (1):

$m_1 v_1 = m_1 v'_1 + m_2 (v_1 + v'_1)$

$m_1 v_1 = m_1 v'_1 + m_2 v_1 + m_2 v'_1$

$m_1 v_1 - m_2 v_1 = v'_1 (m_1 + m_2)$

Отсюда находим скорость первой тележки после столкновения:

$v'_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

Теперь найдем скорость второй тележки:

$v'_2 = v_1 + v'_1 = v_1 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 = v_1 \left(1 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) = v_1 \frac{m_1 + m_2 + m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Подставим числовые значения в полученные формулы:

$v'_1 = \frac{0,3 - 0,1}{0,3 + 0,1} \cdot 1 = \frac{0,2}{0,4} \cdot 1 = 0,5$ м/с.

$v'_2 = \frac{2 \cdot 0,3}{0,3 + 0,1} \cdot 1 = \frac{0,6}{0,4} \cdot 1 = 1,5$ м/с.

Так как обе скорости получились положительными, обе тележки после столкновения будут двигаться в том же направлении, что и первая тележка до столкновения.

Ответ: модуль скорости первой тележки (массой 0,3 кг) после взаимодействия равен 0,5 м/с; модуль скорости второй тележки (массой 0,1 кг) после взаимодействия равен 1,5 м/с.