Номер 6, страница 144 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 27. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения тел. Вопросы - номер 6, страница 144.

Условие.

6. Как можно доказать, что при центральном упругом ударе шаров движущийся шар останавливается, а неподвижный — приобретает скорость движущегося шара?

Решение.

Чтобы доказать это утверждение, необходимо рассмотреть систему из двух шаров одинаковой массы, используя законы сохранения импульса и кинетической энергии, так как столкновение является упругим.

Дано

$m_1$ – масса первого (движущегося) шара
$v_1$ – начальная скорость первого шара
$m_2$ – масса второго (неподвижного) шара
$v_2 = 0$ – начальная скорость второго шара
Условие из вопроса подразумевает, что массы шаров одинаковы: $m_1 = m_2 = m$.
Столкновение является центральным и абсолютно упругим.
$u_1$, $u_2$ – скорости шаров после столкновения.

Найти:

$u_1$ и $u_2$.

Решение

Поскольку система шаров является замкнутой, для нее выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии (так как удар упругий).

1. Запишем закон сохранения импульса:

Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения.

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Подставим наши данные ($m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = 0$):

$m v_1 + m \cdot 0 = m u_1 + m u_2$

Сократим массу $\text{m}$:

$v_1 = u_1 + u_2$ (1)

2. Запишем закон сохранения кинетической энергии:

Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения.

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Подставим наши данные и сократим общий множитель $\frac{m}{2}$:

$\frac{m v_1^2}{2} + 0 = \frac{m u_1^2}{2} + \frac{m u_2^2}{2}$

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

3. Решим систему из уравнений (1) и (2).

Из уравнения (1) выразим $u_1$:

$u_1 = v_1 - u_2$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$v_1^2 = (v_1 - u_2)^2 + u_2^2$

Раскроем скобки:

$v_1^2 = v_1^2 - 2v_1 u_2 + u_2^2 + u_2^2$

Приведем подобные члены:

$0 = -2v_1 u_2 + 2u_2^2$

$2u_2^2 - 2v_1 u_2 = 0$

Вынесем за скобки $2u_2$:

$2u_2(u_2 - v_1) = 0$

Это уравнение имеет два решения:

а) $u_2 = 0$. Если подставить это значение в уравнение (1), получим $u_1 = v_1$. Это решение означает, что скорости шаров не изменились, то есть столкновения не произошло. Этот случай не имеет физического смысла в контексте задачи.

б) $u_2 - v_1 = 0$, следовательно, $u_2 = v_1$. Это физически осмысленное решение. Оно означает, что второй (изначально неподвижный) шар после столкновения приобретает скорость, равную начальной скорости первого шара.

Теперь найдем скорость первого шара $u_1$ после столкновения, подставив $u_2 = v_1$ в уравнение (1):

$u_1 = v_1 - u_2 = v_1 - v_1 = 0$

Это означает, что первый (изначально движущийся) шар после столкновения останавливается.

Таким образом, мы доказали, что при центральном упругом ударе двух шаров одинаковой массы движущийся шар останавливается, а неподвижный начинает двигаться со скоростью, которую имел первый шар до удара.

Ответ: Доказательство основано на совместном решении уравнений, вытекающих из законов сохранения импульса и кинетической энергии для системы двух шаров одинаковой массы. Решение показывает, что после столкновения скорость первого (налетающего) шара становится равной нулю ($u_1=0$), а скорость второго (покоившегося) шара становится равной начальной скорости первого ($u_2=v_1$).