Номер 4, страница 144 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 27. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения тел. Задания и упражнения - номер 4, страница 144.

Условие.

4. Локомотив перемещает вагон, который заполняют на ходу углём массой $\text{m}$. Какую дополнительную работу должен совершить локомотив, чтобы тянуть вагон с постоянной по модулю скоростью $\text{v}$? Трением при движении пренебречь.

Указание. Модуль $\text{F}$ силы тяги, которая необходима для совершения дополнительной работы, определяется по формуле: $F\Delta t = \Delta mv$.

Решение.

Дано:

Масса добавляемого угля: $\text{m}$

Постоянная по модулю скорость вагона: $\text{v}$

Найти:

$A_{доп}$ - дополнительная работа локомотива.

Решение:

Дополнительная работа совершается локомотивом для того, чтобы поддерживать скорость вагона постоянной, в то время как его масса увеличивается за счет загружаемого угля. Уголь, попадая в вагон, имеет нулевую начальную горизонтальную скорость, и его нужно разогнать до скорости вагона $\text{v}$. Этот процесс требует приложения внешней силы, которую и создает локомотив.

Воспользуемся вторым законом Ньютона для тел с переменной массой, который гласит, что сила, действующая на тело, равна скорости изменения его импульса:

$F = \frac{dp}{dt}$

Импульс системы «вагон + уголь» в любой момент времени $\text{t}$ равен $p(t) = M(t) \cdot v$, где $M(t)$ – общая масса вагона с углем в данный момент. Поскольку по условию задачи скорость $\text{v}$ постоянна, производная импульса по времени (дополнительная сила тяги) будет равна:

$F = \frac{d(M(t)v)}{dt} = v \frac{dM(t)}{dt}$

Величина $\frac{dM(t)}{dt}$ представляет собой скорость, с которой масса системы увеличивается (т.е. скорость загрузки угля).

Рассмотрим малый промежуток времени $dt$, в течение которого в вагон добавляется небольшая масса угля $dm$. Тогда можно записать, что $\frac{dM(t)}{dt} = \frac{dm}{dt}$. Дополнительная сила тяги в этот момент времени равна:

$F = v \frac{dm}{dt}$

За этот же промежуток времени $dt$ вагон проходит расстояние $ds = v \cdot dt$.

Элементарная работа $dA$, совершаемая дополнительной силой $\text{F}$ на этом малом расстоянии, вычисляется как:

$dA = F \cdot ds = \left(v \frac{dm}{dt}\right) (v \cdot dt) = v^2 dm$

Для того чтобы найти полную дополнительную работу $A_{доп}$, совершенную за всё время, пока в вагон не будет загружена вся масса угля $\text{m}$, необходимо проинтегрировать полученное выражение для элементарной работы по массе от $\text{0}$ до $\text{m}$:

$A_{доп} = \int_0^m v^2 dm$

Поскольку скорость $\text{v}$ является постоянной величиной, её можно вынести за знак интеграла:

$A_{доп} = v^2 \int_0^m dm = v^2 [m]_0^m = mv^2$

Стоит отметить, что изменение кинетической энергии добавленного угля составляет $\Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Разница между совершенной работой ($mv^2$) и приростом кинетической энергии ($\frac{1}{2}mv^2$) объясняется тем, что половина работы локомотива расходуется на преодоление неупругого взаимодействия угля с вагоном и переходит в тепло.

Ответ: Дополнительная работа, которую должен совершить локомотив, равна $A_{доп} = mv^2$.