Номер 5, страница 152 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 28. Угловое ускорение. Равноускоренное движение по окружности. Задания и упражнения - номер 5, страница 152.

Условие.

5. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением $\varepsilon = 4$ рад/с$^2$. Чему равен радиус колеса, если через время $t = 1$ с после начала движения модуль ускорения колеса $a = 6$ м/с$^2$?

Решение.

Дано:

Угловое ускорение $ \epsilon = 4 \text{ рад/с²} $

Время $ t = 1 \text{ с} $

Модуль полного ускорения $ a = 6 \text{ м/с²} $

Начальная угловая скорость $ \omega_0 = 0 \text{ рад/с} $ (по условию, движение начинается "с начала")

Найти:

Радиус колеса $ R $.

Решение:

Полное ускорение $ a $ любой точки на ободе вращающегося тела является векторной суммой тангенциального (касательного) ускорения $ a_{\tau} $ и нормального (центростремительного) ускорения $ a_{n} $. Эти компоненты взаимно перпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

$ a^2 = a_{\tau}^2 + a_{n}^2 $

Тангенциальное ускорение определяется угловым ускорением $ \epsilon $ и радиусом $ R $:

$ a_{\tau} = \epsilon R $

Нормальное ускорение зависит от мгновенной угловой скорости $ \omega $ и радиуса $ R $:

$ a_{n} = \omega^2 R $

Поскольку движение начинается из состояния покоя ($ \omega_0 = 0 $) с постоянным угловым ускорением, угловая скорость в момент времени $ t $ находится по формуле:

$ \omega = \omega_0 + \epsilon t = \epsilon t $

Вычислим значения компонент ускорения в момент времени $ t = 1 \text{ с} $, выразив их через радиус $ R $:

1. Мгновенная угловая скорость:

$ \omega = 4 \text{ рад/с²} \cdot 1 \text{ с} = 4 \text{ рад/с} $

2. Тангенциальное ускорение:

$ a_{\tau} = 4 \cdot R $

3. Нормальное ускорение:

$ a_{n} = \omega^2 R = (4)^2 \cdot R = 16 R $

Теперь подставим выражения для $ a_{\tau} $ и $ a_{n} $ в формулу для полного ускорения:

$ a^2 = (4R)^2 + (16R)^2 $

Подставим известное значение $ a = 6 \text{ м/с²} $:

$ 6^2 = 16R^2 + 256R^2 $

$ 36 = (16 + 256)R^2 $

$ 36 = 272R^2 $

Выразим и найдем $ R $:

$ R^2 = \frac{36}{272} = \frac{9}{68} $

$ R = \sqrt{\frac{9}{68}} = \frac{3}{\sqrt{68}} = \frac{3}{\sqrt{4 \cdot 17}} = \frac{3}{2\sqrt{17}} \text{ м} $

Для практического применения можно вычислить приближенное значение:

$ R \approx \frac{3}{2 \cdot 4.123} \approx 0.36 \text{ м} $

Ответ: радиус колеса равен $ \frac{3}{2\sqrt{17}} \text{ м} $, что приблизительно составляет $ 0.36 \text{ м} $.