Номер 5, страница 169 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 6. Статика. Законы гидро- и аэростатики. Параграф 30. Условия равновесия твёрдого тела. Виды равновесия. Задания и упражнения - номер 5, страница 169.

Условие.

* 5. Лестница длиной 4 м приставлена к идеально гладкой стене под углом $60^\circ$ к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом равен 0,3. На какую максимальную высоту над полом может подняться по лестнице человек, прежде чем она начнёт скользить? Масса лестницы равна 4 кг, масса человека — 80 кг. Сделайте необходимый чертёж.

Решение.

Дано:

Длина лестницы, $L = 4 \text{ м}$
Угол наклона к горизонту, $\alpha = 60^\circ$
Коэффициент трения, $\mu = 0,3$
Масса лестницы, $m_л = 4 \text{ кг}$
Масса человека, $m_ч = 80 \text{ кг}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Максимальная высота подъема человека, $h_{max} - ?$

Решение:

Сделаем чертёж. Лестница опирается на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол. На лестницу действуют следующие силы:
1. Сила тяжести лестницы $m_л g$, приложенная к её центру (на расстоянии $L/2$ от основания).
2. Сила тяжести человека $m_ч g$, приложенная на расстоянии $\text{x}$ от основания лестницы (это расстояние, которое прошел человек по лестнице).
3. Сила нормальной реакции опоры со стороны пола $N_1$, направленная вертикально вверх.
4. Сила нормальной реакции опоры со стороны стены $N_2$, направленная горизонтально от стены.
5. Сила трения покоя $F_{тр}$ со стороны пола, направленная горизонтально к стене, препятствующая скольжению.

Лестница находится в равновесии, когда сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки равны нулю. Рассмотрим предельный случай, когда человек поднялся на максимальное расстояние $\text{x}$, и лестница вот-вот начнёт скользить. В этом случае сила трения покоя достигает своего максимального значения: $F_{тр} = \mu N_1$.

Запишем первое условие равновесия (равенство нулю векторной суммы всех сил) в проекциях на оси координат. Ось OX направим горизонтально к стене, а ось OY — вертикально вверх.

Проекция на ось OY: $N_1 - m_л g - m_ч g = 0$
Отсюда выразим силу реакции опоры со стороны пола:
$N_1 = (m_л + m_ч) g$

Проекция на ось OX: $F_{тр} - N_2 = 0$
Так как $F_{тр} = \mu N_1$, получаем:
$N_2 = \mu N_1 = \mu (m_л + m_ч) g$

Запишем второе условие равновесия (правило моментов) относительно точки O — точки опоры лестницы на пол. Это удобно, так как моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ относительно этой точки равны нулю. Моменты сил тяжести $m_л g$ и $m_ч g$ вращают лестницу по часовой стрелке (будем считать их отрицательными), а момент силы реакции стены $N_2$ — против часовой стрелки (положительный).

Сумма моментов: $M(N_2) + M(m_л g) + M(m_ч g) = 0$
$N_2 \cdot L \sin(\alpha) - m_л g \cdot \frac{L}{2} \cos(\alpha) - m_ч g \cdot x \cos(\alpha) = 0$

Подставим в это уравнение выражение для $N_2$, найденное ранее:
$\mu (m_л + m_ч) g \cdot L \sin(\alpha) - m_л g \frac{L}{2} \cos(\alpha) - m_ч g x \cos(\alpha) = 0$

Сократим на $\text{g}$ и выразим искомое расстояние $\text{x}$ вдоль лестницы:
$m_ч x \cos(\alpha) = \mu (m_л + m_ч) L \sin(\alpha) - m_л \frac{L}{2} \cos(\alpha)$
$x = \frac{\mu (m_л + m_ч) L \sin(\alpha) - m_л \frac{L}{2} \cos(\alpha)}{m_ч \cos(\alpha)}$
Разделим числитель и знаменатель на $\cos(\alpha)$:
$x = \frac{\mu (m_л + m_ч) L \tan(\alpha) - m_л \frac{L}{2}}{m_ч}$

Подставим числовые значения:
$x = \frac{0.3 \cdot (4 \text{ кг} + 80 \text{ кг}) \cdot 4 \text{ м} \cdot \tan(60^\circ) - 4 \text{ кг} \cdot \frac{4 \text{ м}}{2}}{80 \text{ кг}}$
$x = \frac{0.3 \cdot 84 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} - 8}{80} \text{ м} = \frac{100.8 \cdot \sqrt{3} - 8}{80} \text{ м}$
$x \approx \frac{100.8 \cdot 1.732 - 8}{80} \text{ м} = \frac{174.58 - 8}{80} \text{ м} = \frac{166.58}{80} \text{ м} \approx 2.08 \text{ м}$

Это максимальное расстояние, которое человек может пройти вдоль лестницы. Нам нужно найти максимальную высоту $h_{max}$. Высота связана с расстоянием $\text{x}$ через синус угла $\alpha$:
$h_{max} = x \cdot \sin(\alpha)$
$h_{max} \approx 2.08 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ) = 2.08 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.08 \text{ м} \cdot 0.866 \approx 1.8 \text{ м}$

Ответ: Максимальная высота, на которую может подняться человек, составляет примерно $1.8 \text{ м}$.