Номер 4, страница 211 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 37. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Задания и упражнения - номер 4, страница 211.

Условие.

* 4. Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа, получите выражение для определения средней квадратичной скорости молекул газа, если известны его давление $\text{p}$ и плотность $\rho$: $\overline{v^2} = \frac{3p}{\rho}$.

Решение.

4. Дано:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ): $p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Давление газа: $\text{p}$

Плотность газа: $\rho$

Найти:

Выражение для средней квадратичной скорости $\overline{v^2}$ через $\text{p}$ и $\rho$.

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает макроскопический параметр, давление $\text{p}$, с микроскопическими параметрами газа:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где $\text{n}$ — концентрация молекул (число молекул в единице объема), $m_0$ — масса одной молекулы, $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости молекул.

Концентрация молекул $\text{n}$ определяется как отношение общего числа молекул $\text{N}$ к объему $\text{V}$, который они занимают:

$n = \frac{N}{V}$

Подставим это выражение для концентрации в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \overline{v^2}$

Плотность газа $\rho$ по определению равна отношению общей массы газа $\text{m}$ к его объему $\text{V}$:

$\rho = \frac{m}{V}$

Общую массу газа $\text{m}$ можно выразить как произведение числа молекул $\text{N}$ на массу одной молекулы $m_0$:

$m = N \cdot m_0$

Тогда выражение для плотности примет вид:

$\rho = \frac{N \cdot m_0}{V}$

Сгруппируем множители в уравнении для давления, чтобы выделить выражение для плотности:

$p = \frac{1}{3} \left( \frac{N m_0}{V} \right) \overline{v^2}$

Выражение в скобках является плотностью газа $\rho$. Заменим его в уравнении:

$p = \frac{1}{3} \rho \overline{v^2}$

Теперь из этого уравнения выразим средний квадрат скорости $\overline{v^2}$. Для этого умножим обе части уравнения на 3 и разделим на $\rho$:

$3p = \rho \overline{v^2}$

$\overline{v^2} = \frac{3p}{\rho}$

Таким образом, мы получили искомое выражение, связывающее среднюю квадратичную скорость молекул с давлением и плотностью газа.

Ответ: $\overline{v^2} = \frac{3p}{\rho}$.