Номер 5, страница 210 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 37. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Вопросы - номер 5, страница 210.

Условие.

5. Почему в основном уравнении молекулярно-кинетической теории идеального газа стоит множитель $\frac{1}{3}$?

Решение.

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа связывает макроскопический параметр – давление ($\text{p}$) – с микроскопическими характеристиками молекул: их концентрацией ($\text{n}$), массой ($m_0$) и средней квадратичной скоростью их движения ($\overline{v^2}$):

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Множитель $\frac{1}{3}$ в этом уравнении появляется из-за трёхмерности пространства и хаотичности движения молекул газа. Рассмотрим, как он возникает при выводе формулы.

1. Давление газа на стенки сосуда создается упругими ударами молекул. Расчет давления на конкретную стенку, например, перпендикулярную оси $Ox$, зависит только от компоненты скорости молекул вдоль этой оси, то есть от $v_x$.

2. Движение молекул в идеальном газе является хаотичным, то есть все направления движения равновероятны. В трёхмерном пространстве скорость любой молекулы $\vec{v}$ можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие по осям координат: $v_x$, $v_y$ и $v_z$. По теореме Пифагора для вектора скорости, квадрат его модуля равен сумме квадратов его проекций:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

3. Так как движение хаотично и все направления равноправны, то средние значения квадратов проекций скорости на оси координат равны между собой:

$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$

4. Усреднив уравнение для квадрата скорости, получим связь между средним квадратом полной скорости и средним квадратом ее проекции:

$\overline{v^2} = \overline{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}$

Отсюда следует, что средний квадрат проекции скорости на одну ось составляет ровно одну треть от среднего квадрата полной скорости:

$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$

5. При детальном выводе формулы давления на стенку, перпендикулярную оси $Ox$, получается следующее выражение:

$p = n m_0 \overline{v_x^2}$

В этой формуле давление зависит только от компоненты скорости, перпендикулярной стенке.

6. Чтобы связать давление с полной скоростью молекул, которая является более универсальной характеристикой их движения, мы подставляем соотношение из пункта 4 в формулу из пункта 5:

$p = n m_0 \left( \frac{1}{3}\overline{v^2} \right) = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Таким образом, множитель $\frac{1}{3}$ является прямым следствием того, что движение молекул происходит в трёхмерном пространстве, и из-за хаотичности этого движения вклад в давление вдоль одного направления составляет в среднем треть от общего кинетического эффекта.

Ответ: Множитель $\frac{1}{3}$ в основном уравнении МКТ возникает из-за того, что молекулы идеального газа движутся хаотично и равновероятно во всех направлениях в трёхмерном пространстве. Давление на стенку создается только компонентой скорости, перпендикулярной этой стенке. В силу равноправия всех трёх направлений, средний квадрат этой компоненты скорости ($\overline{v_x^2}$) составляет одну треть от среднего квадрата полной скорости молекул ($\overline{v^2}$).