Номер 6, страница 230 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 9. Основы термодинамики. Параграф 41. Внутренняя энергия термодинамической системы. Адиабатический процесс. Работа газа в термодинамике. Вопросы - номер 6, страница 230.

Условие.

6. Чему численно равна работа идеального газа при изотермическом процессе?

Решение.

Решение

Изотермический процесс – это термодинамический процесс, протекающий при постоянной температуре ($T = \text{const}$).

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, переданное системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $\text{A}$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A$

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Так как в изотермическом процессе температура газа не изменяется ($\Delta T = 0$), то и внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, а её изменение равно нулю:

$\Delta U = 0$

Подставив это условие в уравнение первого закона термодинамики, получим:

$Q = 0 + A$

$Q = A$

Таким образом, работа, совершаемая идеальным газом в изотермическом процессе, численно равна количеству теплоты, сообщенной газу.

Для вывода формулы расчета работы воспользуемся ее общим определением. Элементарная работа $dA$ при изменении объема на $dV$ равна $dA = p dV$. Полная работа при изменении объема от $V_1$ до $V_2$ находится путем интегрирования:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$

Для идеального газа справедливо уравнение состояния (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$

где $\text{p}$ – давление, $\text{V}$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Из этого уравнения выразим давление: $p = \frac{\nu RT}{V}$. Поскольку процесс изотермический, температура $\text{T}$ является постоянной величиной. Подставим выражение для давления в интеграл для работы:

$A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu RT}{V} \, dV$

Вынесем постоянные величины $\nu, R, T$ за знак интеграла:

$A = \nu RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}$

Интеграл от $\frac{1}{V}$ равен натуральному логарифму $\ln(V)$. Вычислим определенный интеграл:

$A = \nu RT [\ln V]_{V_1}^{V_2} = \nu RT (\ln V_2 - \ln V_1)$

Используя свойство логарифмов ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$), получаем окончательную формулу для работы идеального газа при изотермическом процессе:

$A = \nu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Согласно закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса $p_1V_1 = p_2V_2$, откуда $\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2}$. Поэтому формулу для работы можно также записать через начальное и конечное давление:

$A = \nu RT \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

Графически в координатах $(p, V)$ работа, совершаемая газом, численно равна площади под графиком процесса (изотермой).

Ответ: Работа идеального газа при изотермическом процессе численно равна количеству теплоты, подведенной к газу ($A = Q$). Она вычисляется по формуле $A = \nu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$, где $\nu$ – количество вещества газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура, при которой протекает процесс, $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объемы газа.