Номер 3, страница 319 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 57. Потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле. Вопросы - номер 3, страница 319.

Условие.

3. Покажите, что однородное электростатическое поле является потенциальным (см. рис. 244).

Рис. 244

Решение.

По определению, силовое поле является потенциальным (или консервативным), если работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы по любому замкнутому контуру, равна нулю. Докажем это для однородного электростатического поля, используя контур, показанный на рис. 244.

Дано:

Однородное электростатическое поле с напряженностью $\vec{E} = \text{const}$.

Пробный положительный заряд $\text{q}$.

Замкнутый прямоугольный контур M-N-L-K-M.

Найти:

Доказать, что поле потенциально, то есть что работа поля по замкнутому контуру равна нулю: $A_{M-N-L-K-M} = 0$.

Решение:

Работа $\text{A}$, совершаемая силой $\vec{F}$ при перемещении заряда на отрезке $\vec{s}$, вычисляется по формуле $A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами силы и перемещения. В однородном электростатическом поле на заряд $\text{q}$ действует постоянная сила $\vec{F} = q\vec{E}$.

Рассчитаем работу на каждом участке замкнутого контура M-N-L-K-M. Обозначим длины горизонтальных сторон MN и LK как $l_1$, а вертикальных NL и KM как $l_2$. Вектор напряженности $\vec{E}$ и, следовательно, сила $\vec{F}$, действующая на положительный заряд, направлены горизонтально влево (от «+» к «-»).

1. На участке M → N перемещение направлено влево, параллельно силе $\vec{F}$. Угол $\alpha = 0^\circ$. $A_{MN} = F \cdot l_1 \cdot \cos(0^\circ) = qEl_1 \cdot 1 = qEl_1$.

2. На участке N → L перемещение направлено вниз, перпендикулярно силе $\vec{F}$. Угол $\alpha = 90^\circ$. $A_{NL} = F \cdot l_2 \cdot \cos(90^\circ) = qEl_2 \cdot 0 = 0$.

3. На участке L → K перемещение направлено вправо, в сторону, противоположную направлению силы $\vec{F}$. Угол $\alpha = 180^\circ$. $A_{LK} = F \cdot l_1 \cdot \cos(180^\circ) = qEl_1 \cdot (-1) = -qEl_1$.

4. На участке K → M перемещение направлено вверх, перпендикулярно силе $\vec{F}$. Угол $\alpha = 90^\circ$. $A_{KM} = F \cdot l_2 \cdot \cos(90^\circ) = qEl_2 \cdot 0 = 0$.

Полная работа $A_{замкн}$ на замкнутом контуре равна сумме работ на отдельных участках: $A_{M-N-L-K-M} = A_{MN} + A_{NL} + A_{LK} + A_{KM} = qEl_1 + 0 - qEl_1 + 0 = 0$.

Поскольку работа сил поля при перемещении заряда по замкнутому прямоугольному контуру равна нулю, это доказывает, что однородное электростатическое поле является потенциальным. Этот результат можно обобщить на любой замкнутый контур, так как любую криволинейную траекторию можно представить как совокупность бесконечно малых горизонтальных и вертикальных смещений.

Ответ: Работа сил однородного электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому контуру M-N-L-K-M равна нулю ($A_{замкн} = 0$), что по определению означает, что это поле является потенциальным.