Номер 3, страница 381 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. Квадратная рамка, согнутая из тонкого провода длиной $\text{l}$, находится в однородном магнитном поле, индукция которого увеличивается за время $\text{t}$ по линейному закону от нуля до некоторого максимального значения. Вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости рамки. Как изменится ЭДС индукции, возникающая в рамке, если увеличить длину провода, из которого согнута рамка, в 2 раза?

1) не изменится

2) увеличится в 4 раза

3) уменьшится в 4 раза

4) увеличится в 2 раза

Дано:

Начальная длина провода: $l_1 = l$

Конечная длина провода: $l_2 = 2l$

Форма рамки: квадрат

Закон изменения индукции: $B(t)$ - линейный

Расположение поля: перпендикулярно плоскости рамки

Найти:

Во сколько раз изменится ЭДС индукции, $\frac{\mathcal{E}_{i2}}{\mathcal{E}_{i1}}$ - ?

Решение:

ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$, возникающая в замкнутом контуре, определяется законом электромагнитной индукции Фарадея:

$\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}$

где $\Phi$ – магнитный поток, пронизывающий контур. Магнитный поток равен произведению модуля вектора магнитной индукции $\text{B}$ на площадь контура $\text{S}$ и на косинус угла $\alpha$ между вектором $\text{B}$ и нормалью к плоскости контура: $\Phi = B \cdot S \cdot \cos\alpha$.

По условию, вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки, следовательно, угол $\alpha$ между вектором $\text{B}$ и нормалью к плоскости равен 0, и $\cos(0) = 1$. Тогда магнитный поток $\Phi = B \cdot S$.

Подставим выражение для потока в закон Фарадея:

$\mathcal{E}_i = -\frac{d(B \cdot S)}{dt}$

Так как площадь рамки $\text{S}$ не меняется со временем, ее можно вынести за знак производной:

$\mathcal{E}_i = -S \cdot \frac{dB}{dt}$

По условию, индукция магнитного поля увеличивается по линейному закону. Это означает, что скорость изменения индукции $\frac{dB}{dt}$ является постоянной величиной. Модуль ЭДС индукции равен $|\mathcal{E}_i| = S \cdot |\frac{dB}{dt}|$.

Рамка имеет форму квадрата. Длина провода $\text{l}$ равна периметру квадрата. Если сторона квадрата равна $\text{a}$, то его периметр $P = 4a$. Следовательно, $l = 4a$, откуда сторона квадрата $a = \frac{l}{4}$.

Площадь квадратной рамки $\text{S}$ равна:

$S = a^2 = \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{l^2}{16}$

Теперь подставим выражение для площади в формулу для ЭДС индукции:

$|\mathcal{E}_i| = \frac{l^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}|$

Из этой формулы видно, что ЭДС индукции прямо пропорциональна квадрату длины провода, из которого согнута рамка: $|\mathcal{E}_i| \propto l^2$.

Рассмотрим два случая. Начальная ЭДС при длине провода $l_1 = l$:

$|\mathcal{E}_{i1}| = \frac{l_1^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}| = \frac{l^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}|$

Новая ЭДС при увеличении длины провода в 2 раза, то есть при $l_2 = 2l$:

$|\mathcal{E}_{i2}| = \frac{l_2^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}| = \frac{(2l)^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}| = \frac{4l^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}|$

Найдем отношение новой ЭДС к начальной:

$\frac{|\mathcal{E}_{i2}|}{|\mathcal{E}_{i1}|} = \frac{\frac{4l^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}|}{\frac{l^2}{16} \cdot |\frac{dB}{dt}|} = 4$

Таким образом, ЭДС индукции увеличится в 4 раза.

Ответ: увеличится в 4 раза.