Лабораторная работа №3, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

№ 3. Измерение момента инерции тела

Оборудование: металлическое кольцо, весы, набор гирь, штангенциркуль, измерительная лента, секундомер, уровень, гладкая доска длиной около 1 м, полосы картона.

Задание: рассчитайте теоретически момент инерции кольца относительно оси вращения, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, измерив массу кольца и его внутренний и внешний радиусы. Затем проведите опыт с наклонной плоскостью и определите на основе измерений момент инерции этого же кольца. Сравните полученные значения моментов инерции.

Содержание и метод выполнения работы.

Момент инерции кольца с внутренним радиусом $\text{r}$ и внешним радиусом $\text{R}$ можно рассчитать теоретически с помощью выражения для кинетической энергии вращающегося тела. Цилиндр радиусом $\text{R}$ можно представить состоящим из двух тел: цилиндра радиусом $\text{r}$ и кольца с внутренним радиусом $\text{r}$ и внешним радиусом $\text{R}$. Очевидно, что при вращении большого цилиндра с угловой скоростью $\omega$ его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий малого цилиндра и кольца:

$\frac{I_1 \omega^2}{2} = \frac{I_2 \omega^2}{2} + \frac{I_{\text{к.т}} \omega^2}{2}$

где $I_1$ — момент инерции большого цилиндра; $I_2$ — момент инерции малого цилиндра; $I_{\text{к.т}}$ — момент инерции кольца. Из уравнения (1) следует:

$I_{\text{к.т}} = I_1 - I_2 = \frac{m_1 R^2}{2} - \frac{m_2 r^2}{2}$

Массы $m_1$ и $m_2$ цилиндров можно выразить через плотность $\rho$ вещества, их длину $\text{l}$ и радиусы $\text{R}$ и $\text{r}$:

$m_1 = \pi R^2 l \rho$

$m_2 = \pi r^2 l \rho$

Плотность $\rho$ вещества можно найти по известным значениям массы $\text{m}$ кольца и его объёма $V = \pi l(R^2 - r^2)$:

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi l(R^2 - r^2)}$

Из уравнения (2) с учётом выражений (3)–(5) следует:

$I_{\text{к.т}} = \frac{\pi \rho l(R^4 - r^4)}{2} - \frac{m(R^2 + r^2)}{2}$

Таким образом, измерив массу кольца и его внешний и внутренний радиусы, мы можем вычислить его момент инерции относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости.

Рис. Л.6

Для экспериментального определения момента инерции кольца можно провести следующий опыт. Установим гладкую доску длиной $\text{l}$ под углом $\alpha$ к горизонту (рис. Л.6). Поставим кольцо на верхний край доски и измерим время $\text{t}$ его скатывания. По закону сохранения энергии

$\frac{I_{\text{к.а}} \omega^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = mgh = mgl \sin \alpha$

Но $\omega = v/R$, а конечная скорость $v = 2l/t$. Подставив $\omega$ и $\text{v}$ в уравнение (7), после несложных преобразований получим

$I_{\text{к.а}} = mR^2 \left(\frac{gt^2 \sin \alpha}{2l} - 1\right)$

Таким образом, для экспериментального определения момента инерции кольца необходимо измерить его массу, внешний радиус, время скатывания по наклонной плоскости, длину наклонной плоскости и угол её наклона. Если высота подставки под наклонной плоскостью равна $\text{h}$, то $\sin \alpha = h/l$ и выражение (8) примет вид

$I_{\text{к.а}} = mR^2 \left(\frac{ght^2}{2l^2} - 1\right)$

Порядок выполнения работы.

1. Подготовьте весы для взвешивания и определите массу кольца. С помощью штангенциркуля определите внутренний и внешний радиусы кольца. Вычислите момент инерции по формуле (6).

2. Положите доску на стол и проверьте горизонтальность её поверхности с помощью уровня или металлического шара. Если поверхность доски на столе не горизонтальна, то добейтесь горизонтального положения поверхности доски, подкладывая под один из её концов полосы картона. После этого подложите под другой конец доски карандаш или книгу и подберите такой угол наклона доски, при котором кольцо будет скатываться за 3–4 с.

3. Поставьте кольцо у верхнего края наклонной плоскости и отпустите его одновременно с запуском секундомера. При достижении кольцом края доски остановите секундомер. Запишите показания секундомера.

4. Измерьте длину доски и высоту подставки под её верхним концом. Вычислите момент инерции кольца по формуле (9).

5. Оцените границы погрешностей измерений и вычислений момента инерции кольца. Согласуются ли результаты расчёта момента инерции по формуле (6) и результаты его экспериментального определения с применением формулы (9)?

Результаты измерений и вычислений занесите в отчётную таблицу.

Границы погрешностей измерений момента инерции при использовании формулы (6) можно оценить следующим образом:

$\varepsilon_{1T} = \varepsilon_m + \varepsilon_{R^2+r^2} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta(R^2+r^2)}{R^2+r^2}$

Абсолютная погрешность суммы квадратов радиусов имеет вид

$\Delta(R^2+r^2) = \Delta(R^2) + \Delta(r^2) = 2R\Delta R + 2r\Delta r$

Пренебрегая погрешностью при измерении массы, получаем

$\varepsilon_{1T} \approx \frac{2(R\Delta R + r\Delta r)}{R^2+r^2}$

Приняв границу абсолютной погрешности измерения с помощью штангенциркуля равной $\Delta r = \Delta R = \delta = 0,1$ мм, получим

$\varepsilon_{1T} = \frac{2\delta(R+r)}{R^2+r^2}$

Границы погрешностей измерений при вычислении момента инерции по формуле (9) можно оценить следующим образом:

$\varepsilon_{1Э} = \varepsilon_m + \varepsilon_{R^2} + \varepsilon_{k-1}$, где $k = \frac{ght^2}{2l^2}$

Пренебрегая, как и прежде, погрешностью при измерении массы, получаем

$\varepsilon_{1Э} \approx \frac{2\Delta R}{R} + \frac{\Delta(k-1)}{k-1} = \frac{2\Delta R}{R} + \frac{\Delta k}{k-1}$

Но

$\Delta k = k \varepsilon_k = k \left(\frac{\Delta g}{g} + \frac{\Delta h}{h} + \frac{2\Delta t}{t} + \frac{2\Delta l}{l}\right) = \frac{ght^2}{2l^2} \left(\frac{\Delta g}{g} + \frac{\Delta h}{h} + \frac{2\Delta t}{t} + \frac{2\Delta l}{l}\right)$

Очевидно, что эту погрешность имеет смысл вычислить отдельно и затем уже подставить результат в выражение (11). Приняв $g = 9,81$ м/с$^2$, можно погрешностью $\Delta g \approx 0,04\%$ пренебречь, что упростит расчёт.

Граница абсолютной погрешности измерения времени $\Delta t$ складывается из границы инструментальной погрешности $\Delta t_{\text{пр}}$, границы погрешности метода измерения $\Delta t_{\text{м}}$ и границы погрешности отсчёта $\Delta t_{\text{отсч}}$: $\Delta t = \Delta t_{\text{пр}} + \Delta t_{\text{м}} + \Delta t_{\text{отсч}}$.

Границу инструментальной погрешности механического секундомера можно принять равной 0,1 с, примерно такие же значения имеют границы погрешностей отсчёта и метода измерений, обусловленных ошибкой наблюдателя при запуске или остановке секундомера. Поэтому можно считать, что $\Delta t \approx 0,3$ с.

Границу абсолютной погрешности измерения высоты наклонной плоскости из-за малости измеряемого значения высоты можно считать приблизительно равной погрешности отсчёта при измерении линейкой ($\Delta h = 1$ мм), а границу абсолютной погрешности измерения длины доски можно считать равной сумме границ инструментальной погрешности и погрешности отсчёта:

$\Delta l = \Delta l_{\text{пр}} + \Delta l_{\text{отсч}} = 1$ см $+ 0,5$ см $= 1,5$ см.

Дополнительное задание: выведите формулу (9) для вычисления момента инерции кольца на основании второго закона Ньютона для поступательного и вращательного движения кольца.

Отчётная таблица

$\text{m}$, кг | $\text{R}$, м | $\text{r}$, м | $I_{\text{к.т}}$, кг $\cdot$ м$^2$ | $\varepsilon_{1T}$ | $\text{l}$, м | $\text{h}$, м | $\text{t}$, с | $I_{\text{к.а}}$, кг $\cdot$ м$^2$ | $\varepsilon_{1Э}$

Дополнительное задание

В этом задании требуется вывести формулу (9) для вычисления момента инерции кольца, основываясь на втором законе Ньютона для поступательного и вращательного движения.

Решение

Рассмотрим кольцо массой $\text{m}$ и внешним радиусом $\text{R}$, которое скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Длина наклонной плоскости равна $\text{l}$, а угол наклона к горизонту – $\alpha$. Высота, с которой скатывается кольцо, равна $\text{h}$.

На кольцо действуют три силы:

1. Сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции $\text{N}$, перпендикулярная наклонной плоскости.

3. Сила трения покоя $F_{тр}$, направленная вверх вдоль наклонной плоскости. Эта сила создает вращающий момент, обеспечивающий вращение кольца.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс кольца вдоль наклонной плоскости (ось $\text{Ox}$ направлена вниз вдоль плоскости):

$ma = mg \sin \alpha - F_{тр} \quad (1)$

где $\text{a}$ – линейное ускорение центра масс кольца.

Далее запишем второй закон Ньютона для вращательного движения кольца относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости кольца:

$\tau = I_{к.э} \varepsilon \quad (2)$

где $I_{к.э}$ – искомый момент инерции кольца, $\varepsilon$ – его угловое ускорение, а $\tau$ – суммарный момент внешних сил. Сила тяжести и сила нормальной реакции приложены к центру масс (или их линии действия проходят через него), поэтому их момент равен нулю. Момент создает только сила трения:

$\tau = F_{тр} R \quad (3)$

Подставляя (3) в (2), получаем:

$F_{тр} R = I_{к.э} \varepsilon \quad (4)$

Поскольку кольцо скатывается без проскальзывания, линейное и угловое ускорения связаны соотношением:

$a = \varepsilon R \implies \varepsilon = \frac{a}{R} \quad (5)$

Подставим выражение для $\varepsilon$ из (5) в уравнение (4), чтобы выразить силу трения через линейное ускорение:

$F_{тр} R = I_{к.э} \frac{a}{R} \implies F_{тр} = \frac{I_{к.э} a}{R^2} \quad (6)$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения (6) в уравнение поступательного движения (1):

$ma = mg \sin \alpha - \frac{I_{к.э} a}{R^2}$

Сгруппируем члены, содержащие ускорение $\text{a}$, и выразим его:

$ma + \frac{I_{к.э} a}{R^2} = mg \sin \alpha$

$a \left( m + \frac{I_{к.э}}{R^2} \right) = mg \sin \alpha$

$a = \frac{mg \sin \alpha}{m + \frac{I_{к.э}}{R^2}} \quad (7)$

С другой стороны, так как кольцо начинает движение из состояния покоя и движется с постоянным ускорением, пройденный им путь $\text{l}$ за время $\text{t}$ определяется кинематическим уравнением:

$l = \frac{at^2}{2}$

Из этого уравнения также можно выразить ускорение:

$a = \frac{2l}{t^2} \quad (8)$

Теперь приравняем правые части двух полученных выражений для ускорения (7) и (8):

$\frac{2l}{t^2} = \frac{mg \sin \alpha}{m + \frac{I_{к.э}}{R^2}}$

Из этого равенства выразим искомый момент инерции $I_{к.э}$:

$m + \frac{I_{к.э}}{R^2} = \frac{mg t^2 \sin \alpha}{2l}$

$\frac{I_{к.э}}{R^2} = \frac{mg t^2 \sin \alpha}{2l} - m$

$I_{к.э} = mR^2 \left( \frac{g t^2 \sin \alpha}{2l} - 1 \right)$

Это выражение является формулой (8) из текста лабораторной работы. Чтобы получить искомую формулу (9), воспользуемся геометрическим соотношением для наклонной плоскости:

$\sin \alpha = \frac{h}{l}$

Подставим это соотношение в полученную формулу для $I_{к.э}$:

$I_{к.э} = mR^2 \left( \frac{g t^2}{2l} \cdot \frac{h}{l} - 1 \right) = mR^2 \left( \frac{ght^2}{2l^2} - 1 \right)$

Таким образом, формула (9) успешно выведена.

Ответ: Формула (9) $I_{к.э} = mR^2 \left( \frac{ght^2}{2l^2} - 1 \right)$ для экспериментального определения момента инерции кольца выводится на основе применения второго закона Ньютона для поступательного и вращательного движения твердого тела. Учитывается, что движение происходит с постоянным ускорением и без проскальзывания. Совместное решение динамических и кинематических уравнений позволяет выразить момент инерции через измеряемые в опыте величины: массу ($\text{m}$), внешний радиус ($\text{R}$), длину наклонной плоскости ($\text{l}$), высоту подставки ($\text{h}$) и время скатывания ($\text{t}$).