Лабораторная работа №4, страница 391 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

№ 4. Измерение давления газа

Оборудование: насос, работающий на разрежение, стеклянная бутылка с резиновой пробкой, стеклянная трубка длиной 40–60 см, закрытая с одного конца, сосуд с водой, линейка измерительная, резиновый шланг, зажим, манометр.

Задание: откачайте воздух из бутылки насосом. Измерьте давление воздуха в бутылке с помощью стеклянной трубки и сосуда с водой. Полученный результат проверьте прямым измерением давления воздуха с помощью манометра.

Содержание и метод выполнения работы.

Для измерения разности давлений можно применить, например, трубчатый манометр. В этом приборе чувствительным элементом, соединяющимся с исследуемым объёмом, является изогнутая трубка. При различии давлений изнутри и снаружи трубка деформируется и вызывает через исполнительное устройство поворот стрелки прибора.

Разность $Δp$ давления $\text{p}$ газа в каком-то сосуде и атмосферного давления $p_a$ можно измерить и с помощью жидкостного манометра, который состоит из двух вертикальных стеклянных трубок, соединённых внизу и открытых сверху. Трубки манометра заполняются жидкостью примерно до половины высоты. При одинаковом внешнем давлении на обе поверхности жидкости в двух коленах манометра уровни жидкости в них находятся на одинаковой высоте. Если же одну стеклянную трубку манометра соединить резиновым шлангом с сосудом, в котором газ находится под давлением $\text{p}$, отличным от давления $p_a$ атмосферного воздуха, то уровни жидкости в трубках манометра окажутся расположенными на разной высоте. Разность $\text{h}$ уровней жидкости в трубках манометра связана с разностью давлений на поверхности жидкости в них уравнением $Δp = p - p_a = \rho gh$.

Если трубки манометра заполнены водой, то разность давлений в паскалях можно вычислить по разности уровней воды в сантиметрах. Если $h = 1$ см, то $Δp = 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,81 \text{ м/с}^2 \cdot 10^{-2} \text{ м} \approx 100 \text{ Па, т. е. } 1 \text{ см вод. ст.} \approx 100 \text{ Па}$.

При отсутствии приборов для измерения давления можно воспользоваться стеклянной трубкой, закрытой с одного конца. Для этого следует соединить эту трубку с сосудом, в котором нужно измерить давление газа, затем перекрыть соединительный резиновый шланг зажимом. Сняв конец резинового шланга с трубки в пробке сосуда, следует поместить конец стеклянной трубки вместе со шлангом в воду и под водой снять конец шланга со стеклянной трубки. Так как начальное давление воздуха внутри трубки ниже атмосферного, вода войдёт в неё и поднимется на некоторую высоту $\text{h}$, при которой давление воздуха в трубке станет равным атмосферному. Процесс сжатия газа можно считать изотермическим, поэтому начальное давление в трубке, равное давлению в бутылке, определяется по закону Бойля—Мариотта:

$p_1 = \frac{p_2 V_2}{V_1} = \frac{p_2 l_2}{l_1}$ (1)

где $p_1$ — начальное давление воздуха в трубке (т. е. давление в бутылке); $V_1$ — начальный объём; $p_2$ — конечное давление воздуха; $V_2$ — его конечный объём в трубке после подъёма воды.

Конечное давление $p_2$ воздуха в трубке равно атмосферному давлению $p_a$ воздуха минус давление $p_3$ водяного столба в трубке над поверхностью жидкости. Если этой поправкой можно пренебречь, то давление $p_2$ равно атмосферному давлению. Тогда для давления $p_1$ имеем

$p_1 = \frac{p_a l_2}{l_1}$ (2)

Рис. Л.7

Порядок выполнения работы.

1. Измерьте длину $l_1$ стеклянной трубки.

2. Соедините резиновым шлангом насос на разрежение с трубкой в пробке сосуда (рис. Л.7). Сделайте 20 движений поршня насоса. Перекройте шланг зажимом.

3. Снимите конец шланга со штуцера насоса и присоедините его к открытому концу стеклянной трубки. Откройте зажим на шланге и снова перекройте его (рис. Л.8).

4. Опустите конец стеклянной трубки вместе со шлангом под воду и снимите шланг. Поставьте стеклянную трубку вертикально и измерьте длину $l_2$ воздушного столба (рис. Л.9).

5. Определите атмосферное давление $p_a$ воздуха по показаниям барометра. Используя найденные значения длин $l_1$ и $l_2$ воздушного столба в стеклянной трубке и атмосферного давления $p_a$, вычислите давление $p_1$ в сосуде и трубке по формуле (2).

6. Оцените границы погрешностей измерений. Результаты измерений и вычислений занесите в отчётную таблицу.

Границы погрешностей измерений можно оценить следующим образом. Из уравнения (2) следует:

$\varepsilon_{p1} = \varepsilon_{l2} + \varepsilon_{l1} + \varepsilon_{pa}$

Рис. Л.8

Рис. Л.9

При измерениях длины воздушного столба линейкой с миллиметровыми делениями границу абсолютной погрешности измерений длины $Δl = Δl_1 = Δl_2$ можно считать равной сумме границ инструментальной погрешности и погрешности отсчёта, каждая из которых равна примерно 1 мм: $Δl_1 = Δl_2 = Δl_{пр} + Δl_{отсч} \approx 2 \text{ мм}$.

Границу абсолютной погрешности измерения атмосферного давления $p_a$ можно принять равной цене одного деления шкалы барометра. (Учтите, что показания барометра часто заданы не в паскалях, а в миллиметрах ртутного столба. При расчётах следует учесть, что давление 1 мм рт. ст. равно 133,3 Па.)

Дополнительные задания:

1. Выведите соотношение между 1 мм рт. ст. и 1 Па.

2. Как учесть погрешность, вносимую в измерение давления воздуха в бутылке, когда к ней присоединяются трубка и резиновый шланг?

Отчётная таблица

$l_1, \text{ м}$ $l_2, \text{ м}$ $p_a, \text{ Па}$ $Δp_a, \text{ Па}$ $p_1, \text{ Па}$ $\varepsilon_p$ $Δp_1, \text{ Па}$

1. Выведите соотношение между 1 мм рт. ст. и 1 Па.

Миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.) — это внесистемная единица измерения давления, определяемая как гидростатическое давление столба ртути высотой 1 мм. Для вывода соотношения с системной единицей давления, паскалем (Па), используем формулу гидростатического давления.

Дано:

$h = 1 \text{ мм}$ (высота столба ртути)

$\rho_{рт} \approx 13595,1 \text{ кг/м}^3$ (стандартная плотность ртути при 0 °C)

$g \approx 9,80665 \text{ м/с}^2$ (стандартное ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:
$h = 1 \text{ мм} = 0,001 \text{ м}$

Найти:

$\text{p}$ - ?

Решение:

Давление столба жидкости вычисляется по формуле: $p = \rho \cdot g \cdot h$
где $\rho$ – плотность жидкости, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{h}$ – высота столба жидкости.

Подставим в формулу значения для ртути:
$p = 13595,1 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,80665 \text{ м/с}^2 \cdot 0,001 \text{ м}$
$p \approx 133,322 \text{ Па}$

Таким образом, давление в 1 мм ртутного столба с высокой точностью равно 133,3 Па, что соответствует значению, указанному в условии задачи.

Ответ: Соотношение между 1 мм рт. ст. и 1 Па выражается как $1 \text{ мм рт. ст.} \approx 133,3 \text{ Па}$.

2. Как учесть погрешность, вносимую в измерение давления воздуха в бутылке, когда к ней присоединяются трубка и резиновый шланг?

Решение:

Погрешность возникает из-за того, что при присоединении трубки и шланга к бутылке общий объем системы увеличивается, а воздух, находящийся в трубке и шланге при атмосферном давлении, смешивается с разреженным воздухом в бутылке. В результате измеряемое давление $p_{изм}$ в системе "бутылка + трубка + шланг" будет отличаться от исходного давления $p_1$ в бутылке.

Чтобы учесть эту погрешность, можно использовать закон Бойля-Мариотта для смешивания газов (считая процесс изотермическим).

Пусть:
$V_{б}$ – объем воздуха в бутылке.
$p_1$ – исходное давление в бутылке (которое мы хотим найти).
$V_{тр}$ – внутренний объем трубки и шланга.
$p_a$ – атмосферное давление, которое было в трубке и шланге до присоединения.
$p_{изм}$ – конечное, измеряемое давление в системе после соединения.
$V_{общ} = V_{б} + V_{тр}$ – общий объем системы.

Количество вещества (число молей) в системе до и после соединения сохраняется. Из уравнения состояния идеального газа $pV=nRT$, при постоянной температуре $\text{T}$, количество вещества пропорционально произведению $\text{pV}$.
Следовательно, можно записать:
$p_1 V_{б} + p_a V_{тр} = p_{изм} (V_{б} + V_{тр})$

Из этого уравнения выразим искомое давление $p_1$:
$p_1 V_{б} = p_{изм} (V_{б} + V_{тр}) - p_a V_{тр}$
$p_1 = \frac{p_{изм} (V_{б} + V_{тр}) - p_a V_{тр}}{V_{б}}$
$p_1 = p_{изм} \left(1 + \frac{V_{тр}}{V_{б}}\right) - p_a \frac{V_{тр}}{V_{б}}$

Таким образом, для учета погрешности необходимо предварительно измерить объем бутылки $V_{б}$ и внутренний объем соединительных трубки и шланга $V_{тр}$. Затем, измерив атмосферное давление $p_a$ и конечное давление в системе $p_{изм}$, можно вычислить скорректированное (истинное) начальное давление $p_1$ в бутылке с помощью выведенной формулы.

Ответ: Для учета погрешности необходимо измерить объемы бутылки ($V_{б}$) и соединительного шланга с трубкой ($V_{тр}$), а затем, зная измеренное давление в системе ($p_{изм}$) и атмосферное давление ($p_a$), рассчитать исходное давление в бутылке ($p_1$) по формуле: $p_1 = p_{изм} \left(1 + \frac{V_{тр}}{V_{б}}\right) - p_a \frac{V_{тр}}{V_{б}}$.