Номер 5, страница 381 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

5. Кольцо из медной проволоки помещено в однородное магнитное поле так, что его плоскость перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. Диаметр кольца 200 мм, диаметр проволоки 2 мм, удельное сопротивление меди $1,72 \cdot 10^{-8} \Omega \cdot \text{м}$. Определите модуль скорости изменения магнитной индукции поля со временем, если при этом сила индукционного тока, возникающего в кольце, равна 10 А.

Дано:

Диаметр кольца, $D = 200$ мм

Диаметр проволоки, $d = 2$ мм

Удельное сопротивление меди, $\rho = 1,72 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м

Сила индукционного тока, $I = 10$ А

Перевод в систему СИ:

$D = 200 \text{ мм} = 0,2 \text{ м}$

$d = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Модуль скорости изменения магнитной индукции, $\frac{dB}{dt}$ - ?

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции ($\mathcal{E}$), возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока ($\Phi$) через поверхность, ограниченную этим контуром:

$\mathcal{E} = \left| -\frac{d\Phi}{dt} \right|$

Магнитный поток через кольцо определяется как $\Phi = B \cdot A \cdot \cos\alpha$. По условию задачи, плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции, значит, угол $\alpha$ между нормалью к плоскости кольца и вектором $\vec{B}$ равен нулю ($\alpha = 0$), и $\cos\alpha = 1$. Таким образом, $\Phi = B \cdot A$.

Поскольку площадь кольца $\text{A}$ постоянна, ЭДС индукции возникает из-за изменения магнитной индукции $\text{B}$ во времени:

$\mathcal{E} = \frac{d(B \cdot A)}{dt} = A \frac{dB}{dt}$

По закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока $\text{I}$ связана с ЭДС индукции и сопротивлением кольца $\text{R}$:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R}$, откуда $\mathcal{E} = I \cdot R$.

Приравнивая два выражения для $\mathcal{E}$, получаем:

$A \frac{dB}{dt} = I \cdot R$

Отсюда выражаем искомую величину – скорость изменения магнитной индукции:

$\frac{dB}{dt} = \frac{I \cdot R}{A}$

Сопротивление $\text{R}$ медной проволоки, из которой сделано кольцо, вычисляется по формуле $R = \rho \frac{l}{S_{пр}}$, где $\rho$ – удельное сопротивление, $\text{l}$ – длина проволоки, $S_{пр}$ – площадь поперечного сечения проволоки.

Длина проволоки равна длине окружности кольца: $l = \pi D$.

Площадь поперечного сечения проволоки: $S_{пр} = \frac{\pi d^2}{4}$.

Тогда сопротивление кольца: $R = \rho \frac{\pi D}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho D}{d^2}$.

Площадь, которую охватывает кольцо, равна $A = \frac{\pi D^2}{4}$.

Подставим выражения для $\text{R}$ и $\text{A}$ в формулу для $\frac{dB}{dt}$:

$\frac{dB}{dt} = \frac{I \cdot \left(\frac{4 \rho D}{d^2}\right)}{\frac{\pi D^2}{4}} = \frac{4 I \rho D}{d^2} \cdot \frac{4}{\pi D^2} = \frac{16 I \rho}{\pi d^2 D}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{dB}{dt} = \frac{16 \cdot 10 \text{ А} \cdot 1,72 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{\pi \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \cdot 0,2 \text{ м}} = \frac{275,2 \cdot 10^{-8}}{\pi \cdot 4 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = \frac{2,752 \cdot 10^{-6}}{0,8\pi \cdot 10^{-6}} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} \approx 1,095 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $1,1$ Тл/с.

Ответ: модуль скорости изменения магнитной индукции поля со временем равен $1,1$ Тл/с.