Лабораторная работа №2, страница 385 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

№ 2. Измерение импульса

Оборудование: наклонная плоскость, полоса бумаги, линейка измерительная, монеты разного достоинства.

Задание: определите импульс массивной монеты после её скольжения по наклонной плоскости. Поставьте на пути массивной монеты более лёгкую и проанализируйте результат их взаимодействия. Сравните импульс системы из двух монет до столкновения с импульсом этой системы после столкновения монет.

Содержание и метод выполнения работы.

В специальных измерениях импульса тела нет необходимости, если известны его масса и скорость. В этом случае импульс определяется как их произведение. Однако в физике довольно часто встречаются случаи, когда прямые измерения массы и скорости тела оказываются затруднёнными или невозможными, но сведения о них можно получить на основании измерений импульса тела. Такая ситуация характерна для многих экспериментов в области ядерной физики и физики элементарных частиц, в которых обнаруживаются новые частицы с неизвестной массой. Измерив импульс и кинетическую энергию частицы, можно определить затем её массу и скорость.

Измерение импульса тела с неизвестной массой, движущегося с неизвестной скоростью, возможно на основании закона сохранения импульса.

В данной работе исследуется суммарный импульс системы из двух монет до и после их соударения. При этом импульсы сравниваются векторно в случае нецентрального удара. Для этой цели одна из монет соскальзывает с наклонной плоскости и затем сталкивается с неподвижной монетой. Так как массы монет известны, то для вычисления их импульсов нужно определить их скорости. Они вычисляются по длине тормозного пути и измеренному коэффициенту трения монеты о бумагу.

Предоставим монете возможность после соскальзывания с наклонной плоскости двигаться по бумаге на горизонтальной поверхности стола до остановки. Измерим тормозной путь, пройденный монетой по горизонтальной поверхности от точки А — положения центра монеты в начале пути — до точки остановки В (рис. Л.2). Как легко доказать, скорость монеты в точке А равна:

$v = \sqrt{2\mu gs}.$ (1)

Если поверхности наклонной и горизонтальной плоскостей изготовлены из одного и того же материала, то им соответствует один и тот же коэффициент трения:

$\mu = h/(l + s).$ (2)

Для вывода этой формулы воспользуйтесь рисунками Л.2 и Л.3.

На основе этих данных можно найти значение модуля импульса $\text{p}$ монеты до столкновения.

Так как вторая монета до столкновения находится в покое, импульс первой монеты до столкновения равен импульсу системы из двух монет после столкновения:

$\vec{P} = \vec{P_1} + \vec{P_2}.$ (3)

Порядок выполнения работы.

1. Положите на наклонную плоскость полосу бумаги таким образом, чтобы часть её (длиной 25–30 см) находилась на горизонтальной поверхности стола. Монета, лежащая на поверхности бумажной полосы на наклонной плоскости, должна плавно соскальзывать по ней и двигаться по горизонтальной поверхности до остановки. Подберите такие угол наклона плоскости и начальное положение запуска монеты, чтобы путь монеты на горизонтальной поверхности составлял 15–25 см.

2. Отметьте начальное положение монеты на наклонной плоскости и её конечное положение на горизонтальной плоскости. Проведите на горизонтально расположенном участке бумажной полосы прямую, по которой двигался центр диска монеты. Отметьте положение центра монеты в начале горизонтального участка пути (точка А) и в его конце (точка В). Измерьте тормозной путь $s = AB$ (отрезок $\text{AB}$) (рис. Л.4).

3. Измерьте длины катетов $\text{h}$ и $\text{l}$. По формуле (2) определите коэффициент трения монеты о бумагу. Найдите среднее значение коэффициента трения и погрешность.

Зная коэффициент трения, определите скорость монеты в точке А по формуле

$v = \sqrt{2\mu gs} = \sqrt{2ghs/(l+s)}.$

Телом массой $m_1$ может служить монета массой 5–6 г, телом меньшей массы $m_2$ — монета массой 3–4 г.

4. Поставьте на пути движения первой монеты вторую таким образом, чтобы столкновение произошло в тот момент, когда центр диска первой монеты проходит через точку А. Удар должен быть нецентральным (см. рис. Л.4). Отметьте начальное положение центра диска второй монеты (точка С на рис. Л.4). Запустите первую монету с того же места на наклонной плоскости, как и в первом опыте. Отметьте конечное положение центров дисков первой (точка Е) и второй (точка D) монет (см. рис. Л.4). Соедините точки А и Е отрезком АЕ, точки С и D отрезком CD. Измерьте расстояния $s_1$ и $s_2$.

5. По известным значениям масс монет $m_1$ и $m_2$, тормозных путей $\text{s}$, $s_1$, $s_2$ и коэффициента трения $\mu$ вычислите значения скоростей $\text{v}$, $v_1$ и $v_2$ монет и модулей их импульсов $\text{p}$, $p_1$ и $p_2$.

6. Отложите на прямых, проходящих через точки А и В, А и Е, С и D, отрезки, пропорциональные модулям импульсов монет. Постройте векторы $\vec{p}$, $\vec{p_1}$, $\vec{p_2}$ (рис. Л.5). Проверьте, выполняется ли условие

$\vec{p} = \vec{p_1} + \vec{p_2}.$

7. Постройте вектор $\vec{p'} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$, перенеся начало вектора $\vec{p'}$ в точку А. Найдите разность векторов $\Delta \vec{p} = \vec{p'} - \vec{p}$. Измерьте длину вектора $\Delta \vec{p}$, и по известному масштабу построения векторов импульса определите значение модуля вектора $\Delta p$.

8. Определите границы погрешностей значений импульсов системы из двух монет до и после столкновения. Проверьте, лежит ли обнаруженное различие импульсов $\Delta p$ в пределах границ погрешностей измерений. Результаты измерений и вычислений занесите в отчётную таблицу.

Указание.

При оценке границ погрешностей измерений в данном эксперименте необходимо обратить внимание на то, что при повторном запуске монеты из одного и того же места на наклонной плоскости пройденный путь по горизонтальной поверхности может заметно отличаться от первого результата. Различие результатов повторных опытов свидетельствует о существенном влиянии случайных факторов на результаты эксперимента. Такими факторами могут быть действие пальцев экспериментатора при запуске монеты, неровность поверхности бумаги и многое другое. Граница абсолютной систематической погрешности измерений пройденного пути имеет в данном эксперименте значение около 1 мм. Это значительно меньше наблюдаемых случайных отклонений, поэтому систематическими погрешностями измерений в данном случае можно пренебречь.

Для оценки границ случайных погрешностей можно выполнить серию из 10 измерений тормозного пути при одинаковых условиях запуска монеты, найти среднее арифметическое значение тормозного пути $s_{ср}$ и среднюю квадратичную погрешность.

Границы абсолютных погрешностей измерений пути $s_1$ и $s_2$ можно считать приблизительно равными границе абсолютной погрешности измерения первого тормозного пути: $\Delta s_1 = \Delta s_2 = \Delta s.$

Считая, что погрешности измерений массы и коэффициента трения пренебрежимо малы по сравнению со случайными погрешностями измерений пройденного пути, определите границу относительной погрешности измерения импульса.

Дополнительные задания:

1. Вычислите значения кинетической энергии системы из двух монет до столкновения и после столкновения и найдите их разность. Оцените границу погрешности измерения кинетической энергии и сделайте вывод, является ли процесс столкновения монет упругим ударом.

2. Оцените погрешность измерения коэффициента трения, для чего пять раз определите тангенс предельного угла трения.

3. Проведите опыт с двумя одинаковыми монетами. Проверьте, выполнится ли известный из теории результат, что при упругом нецентральном ударе двух тел с одинаковой массой, из которых одно покоится, тела после удара разлетаются под прямым углом.

В данной лабораторной работе исследуется закон сохранения импульса на примере столкновения двух монет. Для полного анализа необходимо вывести несколько ключевых формул, которые используются для расчетов.

Вывод формулы для коэффициента трения μ = h / (l + s)

Для вывода этой формулы воспользуемся законом сохранения энергии с учётом работы сил трения.

Дано:

Монета массой $\text{m}$ скатывается с наклонной плоскости и останавливается на горизонтальном участке.
$\text{h}$ — начальная высота монеты (катет наклонной плоскости).
$\text{l}$ — длина проекции наклонной плоскости на горизонталь (второй катет).
$\text{s}$ — тормозной путь монеты на горизонтальном участке.
μ — коэффициент трения скольжения, одинаковый на наклонном и горизонтальном участках.
$\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Найти:

Выражение для коэффициента трения μ.

Решение:

Согласно теореме об изменении полной механической энергии, изменение полной энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения).
$ \Delta E_{полн} = A_{тр} $
Начальное состояние: монета покоится на высоте $\text{h}$. Её полная механическая энергия состоит только из потенциальной энергии: $E_{нач} = mgh$.
Конечное состояние: монета остановилась на горизонтальной поверхности. Её высота равна нулю, скорость равна нулю. Следовательно, полная механическая энергия равна нулю: $E_{кон} = 0$.
Изменение полной энергии: $\Delta E_{полн} = E_{кон} - E_{нач} = 0 - mgh = -mgh$.
Работа силы трения $A_{тр}$ складывается из работы на наклонном участке ($A_{тр1}$) и на горизонтальном участке ($A_{тр2}$). Работа силы трения всегда отрицательна.
1. Работа на наклонном участке. Длина наклонной плоскости равна $L = \sqrt{h^2+l^2}$. Сила нормальной реакции на наклонной плоскости (см. рис. Л.3) равна $N_1 = mg \cos\phi$, где $\phi$ — угол наклона. Из геометрии треугольника $\cos\phi = l/L = l/\sqrt{h^2+l^2}$. Сила трения $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu mg \cos\phi$. Работа $A_{тр1} = -F_{тр1} \cdot L = -(\mu mg \cos\phi) \cdot L = -\mu mg (l/\sqrt{h^2+l^2}) \cdot \sqrt{h^2+l^2} = -\mu mgl$.
2. Работа на горизонтальном участке. Сила нормальной реакции равна $N_2 = mg$. Сила трения $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg$. Тормозной путь равен $\text{s}$. Работа $A_{тр2} = -F_{тр2} \cdot s = -\mu mgs$.
Суммарная работа силы трения: $A_{тр} = A_{тр1} + A_{тр2} = -\mu mgl - \mu mgs = -\mu mg(l+s)$.
Приравниваем изменение энергии и работу силы трения:
$-mgh = -\mu mg(l+s)$
Сокращаем обе части на $-mg$:
$h = \mu(l+s)$
Отсюда выражаем коэффициент трения:
$\mu = \frac{h}{l+s}$

Ответ: Формула для коэффициента трения, связывающая его с измеряемыми в опыте геометрическими параметрами, имеет вид $\mu = \frac{h}{l+s}$.

Вывод формулы для скорости монеты в точке А: v = √(2μgs)

Для вывода этой формулы рассмотрим движение монеты на горизонтальном участке от точки А до точки В.

Дано:

Монета движется по горизонтальной поверхности от точки А до точки В.
$\text{v}$ — скорость монеты в точке А.
$v_B = 0$ — скорость монеты в точке В (остановка).
$\text{s}$ — расстояние от А до В (тормозной путь).
μ — коэффициент трения скольжения.
$\text{m}$ — масса монеты.
$\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Найти:

Выражение для скорости $\text{v}$.

Решение:

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно работе всех действующих на него сил. На горизонтальном участке на монету в горизонтальном направлении действует только сила трения.
$\Delta E_k = A_{тр}$
Начальная кинетическая энергия (в точке А): $E_{k,A} = \frac{1}{2}mv^2$.
Конечная кинетическая энергия (в точке В): $E_{k,B} = 0$.
Изменение кинетической энергии: $\Delta E_k = E_{k,B} - E_{k,A} = 0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}mv^2$.
Работа силы трения на пути $\text{s}$: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot s$. Сила трения на горизонтальной поверхности $F_{тр} = \mu N = \mu mg$.
$A_{тр} = -\mu mgs$.
Приравниваем изменение кинетической энергии и работу силы трения:
$-\frac{1}{2}mv^2 = -\mu mgs$
Сокращаем на $-m$ и умножаем на 2:
$v^2 = 2\mu gs$
Извлекаем квадратный корень:
$v = \sqrt{2\mu gs}$

Ответ: Скорость монеты в начале горизонтального участка пути равна $v = \sqrt{2\mu gs}$.

Дополнительные задания

1. Вычислите значения кинетической энергии системы из двух монет до столкновения и после столкновения и найдите их разность. Оцените границу погрешности измерения кинетической энергии и сделайте вывод, является ли процесс столкновения монет упругим ударом.

Решение:
Кинетическая энергия системы до столкновения (вторая монета покоится, $v_2=0$):
$E_{k, до} = \frac{1}{2}m_1v^2$
Кинетическая энергия системы после столкновения:
$E_{k, после} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$
Скорости $v, v_1, v_2$ вычисляются по формулам $v = \sqrt{2\mu gs}$, $v_1 = \sqrt{2\mu gs_1}$, $v_2 = \sqrt{2\mu gs_2}$, где $s, s_1, s_2$ — соответствующие тормозные пути.
$E_{k, до} = \frac{1}{2}m_1(2\mu gs) = m_1\mu gs$
$E_{k, после} = \frac{1}{2}m_1(2\mu gs_1) + \frac{1}{2}m_2(2\mu gs_2) = \mu g(m_1s_1 + m_2s_2)$
Разность энергий: $\Delta E_k = E_{k, после} - E_{k, до}$.
Если $\Delta E_k \approx 0$ (в пределах погрешности), удар можно считать упругим. Если $\Delta E_k < 0$, удар является неупругим, и часть механической энергии перешла в другие виды (тепло, звук, энергия деформации).
Оценка погрешности: согласно указанию, основной источник погрешности — измерение тормозных путей $s, s_1, s_2$. Погрешности измерений масс и коэффициента трения пренебрежимо малы.
Относительная погрешность измерения кинетической энергии $\varepsilon_E = \frac{\Delta E_k}{E_k}$ будет примерно равна относительной погрешности измерения соответствующего тормозного пути $\varepsilon_s = \frac{\Delta s}{s}$. Например, для энергии до столкновения: $\frac{\Delta E_{k, до}}{E_{k, до}} \approx \frac{\Delta s}{s}$. Для энергии после столкновения погрешность будет складываться из погрешностей измерения $s_1$ и $s_2$.
Для вывода об упругости удара необходимо сравнить разность энергий $|\Delta E_k|$ с суммарной абсолютной погрешностью измерения энергии до и после столкновения $\Delta E_{k, до} + \Delta E_{k, после}$. Если $|\Delta E_k| \leq (\Delta E_{k, до} + \Delta E_{k, после})$, то в рамках погрешности эксперимента закон сохранения энергии выполняется, и удар можно считать упругим. В противном случае — неупругим.

Ответ: Энергии вычисляются как $E_{k, до} = m_1\mu gs$ и $E_{k, после} = \mu g(m_1s_1 + m_2s_2)$. Удар является упругим, если $E_{k, до} \approx E_{k, после}$ с учётом погрешностей измерений, и неупругим, если $E_{k, после} < E_{k, до}$ за пределами погрешностей.

2. Оцените погрешность измерения коэффициента трения, для чего пять раз определите тангенс предельного угла трения.

Решение:
Этот метод позволяет определить коэффициент статического трения $\mu_s$. Он основан на том, что тело на наклонной плоскости начинает скользить, когда составляющая силы тяжести, направленная вдоль плоскости, становится равной максимальной силе трения покоя.
$mg\sin\alpha_{пред} = F_{тр.пок.макс} = \mu_s N = \mu_s mg\cos\alpha_{пред}$
Отсюда, $\mu_s = \frac{mg\sin\alpha_{пред}}{mg\cos\alpha_{пред}} = \tan\alpha_{пред}$.
Для оценки погрешности необходимо: 1. Положить монету на бумажную полосу, размещенную на ровной поверхности (например, линейке). 2. Медленно поднимать один конец поверхности, увеличивая угол наклона $\alpha$. 3. Зафиксировать угол $\alpha_{пред}$, при котором монета начинает скользить. 4. Повторить измерение 5 раз, получив значения $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$. 5. Для каждого угла вычислить тангенс: $\mu_i = \tan\alpha_i$. 6. Найти среднее значение коэффициента трения: $\bar{\mu} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\mu_i$. 7. Оценить случайную погрешность, например, как среднее абсолютное отклонение $\Delta\mu = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}|\mu_i - \bar{\mu}|$ или как среднеквадратичную погрешность.
Полученное значение $\bar{\mu} \pm \Delta\mu$ будет оценкой коэффициента статического трения и его погрешности. Стоит отметить, что коэффициент кинетического трения $\mu$, используемый в основной части работы, обычно несколько меньше статического.

Ответ: Погрешность измерения коэффициента трения оценивается путем многократных измерений предельного угла трения $\alpha_{пред}$, вычисления среднего значения $\bar{\mu} = \overline{\tan\alpha_{пред}}$ и расчета статистической погрешности (например, среднего абсолютного отклонения).

3. Проведите опыт с двумя одинаковыми монетами. Проверьте, выполнится ли известный из теории результат, что при упругом нецентральном ударе двух тел с одинаковой массой, из которых одно покоится, тела после удара разлетаются под прямым углом.

Решение:
Теоретический результат основан на одновременном выполнении закона сохранения импульса и закона сохранения кинетической энергии (условие упругого удара).
Пусть $m_1 = m_2 = m$. Вторая монета покоится ($\vec{v_2}_{,до} = 0$).
Закон сохранения импульса: $m\vec{v} = m\vec{v_1} + m\vec{v_2}$, что эквивалентно $\vec{v} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$.
Закон сохранения кинетической энергии (для упругого удара): $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$, что эквивалентно $v^2 = v_1^2 + v_2^2$.
Последнее равенство является теоремой Пифагора для модулей векторов. Сравним его с векторным равенством из закона сохранения импульса. Если мы возведем векторное равенство в квадрат скалярно:
$\vec{v} \cdot \vec{v} = (\vec{v_1} + \vec{v_2}) \cdot (\vec{v_1} + \vec{v_2})$
$v^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}$
Подставив сюда $v^2 = v_1^2 + v_2^2$ из закона сохранения энергии, получим:
$v_1^2 + v_2^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}$
Это означает, что $2\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$, или $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если они перпендикулярны (или один из них нулевой). Таким образом, после упругого нецентрального столкновения векторы скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ должны быть перпендикулярны.
В эксперименте это проверяется путем измерения угла между траекториями движения монет после столкновения (между отрезками АЕ и CD на рис. Л.4). Если столкновение монет близко к упругому, этот угол должен быть близок к $90^\circ$.

Ответ: Необходимо провести опыт с $m_1=m_2$, измерить угол между направлениями разлета монет после столкновения. Если удар близок к упругому, этот угол должен быть близок к $90^\circ$. Отклонение от $90^\circ$ будет свидетельствовать о неупругости столкновения.