Номер 5, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 16. Кинематика периодического движения. Задачи - номер 5, страница 72.

Условие.

5. Две частицы 1 и 2 совершают гармонические колебания вдоль оси $\text{X}$ с одинаковой амплитудой $A = 18 \text{ см}$. Их координаты косинусоидально зависят от времени, а периоды колебаний составляют $T_1 = 3,6 \text{ с}$ и $T_2 = 1,8 \text{ с}$ соответственно. На каком расстоянии друг от друга частицы будут находиться в момент времени $t = 0,9 \text{ с}$? Найдите скорость частицы 2 относительно частицы 1 в этот момент времени.

Решение.

Дано:

Амплитуда колебаний: $A = 18$ см
Период колебаний частицы 1: $T_1 = 3,6$ с
Период колебаний частицы 2: $T_2 = 1,8$ с
Момент времени: $t = 0,9$ с
Зависимость координаты от времени - косинусоидальная.

Перевод в систему СИ:
$A = 0,18$ м

Найти:

1. Расстояние между частицами $\Delta x$ в момент времени $t$.
2. Скорость частицы 2 относительно частицы 1, $v_{21}$, в момент времени $t$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний, зависимость которых от времени описывается косинусом, в общем виде выглядит так: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.Поскольку в условии не указана начальная фаза, примем ее равной нулю ($\phi_0 = 0$). Это соответствует случаю, когда в начальный момент времени ($t=0$) частицы находятся в положении максимального положительного отклонения.

Таким образом, уравнение движения для каждой частицы: $x(t) = A \cos(\omega t)$.
Скорость является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t)$.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Вычислим циклические частоты для обеих частиц:
Для частицы 1: $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3,6 \text{ с}} = \frac{\pi}{1,8}$ рад/с.
Для частицы 2: $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{1,8 \text{ с}} = \frac{\pi}{0,9}$ рад/с.

Запишем конкретные уравнения движения и скорости для каждой частицы, подставив известные значения:
Частица 1:
$x_1(t) = 0,18 \cos(\frac{\pi}{1,8} t)$
$v_1(t) = -0,18 \cdot \frac{\pi}{1,8} \sin(\frac{\pi}{1,8} t) = -0,1\pi \sin(\frac{\pi}{1,8} t)$
Частица 2:
$x_2(t) = 0,18 \cos(\frac{\pi}{0,9} t)$
$v_2(t) = -0,18 \cdot \frac{\pi}{0,9} \sin(\frac{\pi}{0,9} t) = -0,2\pi \sin(\frac{\pi}{0,9} t)$

На каком расстоянии друг от друга частицы будут находиться в момент времени t = 0,9 с?

Найдем координаты каждой частицы в момент времени $t = 0,9$ с.
Координата частицы 1:
$x_1(0,9) = 0,18 \cos(\frac{\pi}{1,8} \cdot 0,9) = 0,18 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0,18 \cdot 0 = 0$ м.
Координата частицы 2:
$x_2(0,9) = 0,18 \cos(\frac{\pi}{0,9} \cdot 0,9) = 0,18 \cos(\pi) = 0,18 \cdot (-1) = -0,18$ м.

Расстояние между частицами $\Delta x$ равно модулю разности их координат:
$\Delta x = |x_2(0,9) - x_1(0,9)| = |-0,18 \text{ м} - 0 \text{ м}| = 0,18$ м.

Ответ: Расстояние между частицами в момент времени $t = 0,9$ с составит 0,18 м (или 18 см).

Найдите скорость частицы 2 относительно частицы 1 в этот момент времени.

Найдем скорости каждой частицы в момент времени $t = 0,9$ с.
Скорость частицы 1:
$v_1(0,9) = -0,1\pi \sin(\frac{\pi}{1,8} \cdot 0,9) = -0,1\pi \sin(\frac{\pi}{2}) = -0,1\pi \cdot 1 = -0,1\pi$ м/с.
Скорость частицы 2:
$v_2(0,9) = -0,2\pi \sin(\frac{\pi}{0,9} \cdot 0,9) = -0,2\pi \sin(\pi) = -0,2\pi \cdot 0 = 0$ м/с.

Относительная скорость частицы 2 относительно частицы 1 ($v_{21}$) вычисляется как разность их скоростей:
$v_{21} = v_2 - v_1 = 0 - (-0,1\pi) = 0,1\pi$ м/с.

Для численной оценки примем $\pi \approx 3,14$:
$v_{21} \approx 0,1 \cdot 3,14 = 0,314$ м/с.

Ответ: Скорость частицы 2 относительно частицы 1 в этот момент времени равна $0,1\pi$ м/с, что приблизительно составляет 0,314 м/с.