Номер 4, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 16. Кинематика периодического движения. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 4, страница 72.

Условие.

4. Скорость отдельных частей колец Сатурна не пропорциональна их расстоянию до оси вращения, проходящей через центр планеты. Что можно сказать о структуре колец по результатам этих астрономических наблюдений?

Решение.

Дано:

Для отдельных частей колец Сатурна зависимость их скорости $v$ от расстояния $r$ до оси вращения не является прямой пропорциональностью: $v \not\propto r$.

Найти:

Структуру колец Сатурна.

Решение:

Рассмотрим две возможные гипотезы о структуре колец Сатурна.

1. Гипотеза сплошного кольца. Если бы кольца представляли собой единый твердый диск, вращающийся вокруг планеты, то все его точки двигались бы с одинаковой угловой скоростью $ \omega $. Линейная скорость любой точки диска, находящейся на расстоянии $ r $ от оси вращения, определялась бы формулой $ v = \omega r $. В этом случае линейная скорость была бы прямо пропорциональна расстоянию до центра ($ v \propto r $). Однако это предположение прямо противоречит данным астрономических наблюдений, указанным в условии задачи.

2. Гипотеза о совокупности частиц. Если кольца состоят из множества отдельных, не связанных между собой частиц (пыли, льда, камней), то каждая частица является независимым спутником Сатурна и движется по своей орбите. Движение частицы по круговой орбите происходит под действием гравитационной силы со стороны Сатурна, которая играет роль центростремительной силы.

Согласно второму закону Ньютона, равенство силы всемирного тяготения $ F_г $ и центростремительной силы $ F_ц $ можно записать так:

$ F_г = F_ц $

$ G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} $

где $ M $ – масса Сатурна, $ m $ – масса частицы, $ r $ – радиус орбиты частицы, $ G $ – гравитационная постоянная.

Выразим из этого уравнения скорость $ v $:

$ v^2 = \frac{G M}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $

Из полученной формулы следует, что скорость частицы обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса её орбиты ($ v \propto \frac{1}{\sqrt{r}} $). Это означает, что частицы на внутренних орбитах (ближе к Сатурну) движутся быстрее, чем частицы на внешних. Такая зависимость не является прямой пропорциональностью и полностью согласуется с наблюдаемыми данными.

Таким образом, результаты астрономических наблюдений опровергают гипотезу о сплошных кольцах и подтверждают, что они состоят из отдельных частиц.

Ответ:

Наблюдения показывают, что кольца Сатурна не являются сплошным твердым телом, а представляют собой скопление огромного количества отдельных, не связанных между собой частиц (фрагментов льда, камней и пыли), каждая из которых вращается вокруг планеты по своей орбите как самостоятельный спутник.