Номер 5, страница 62 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 15. Баллистическое движение. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 5, страница 62.

Условие.

5. Под каким углом к горизонту охотник должен направить ствол ружья, чтобы попасть в птицу, сидящую на высоте $\text{H}$ на дереве, находящемся на расстоянии $\text{l}$ от охотника? В момент выстрела птица начинает свободно падать на землю.

Решение.

Дано:

H – начальная высота птицы над землей

l – расстояние от охотника до дерева по горизонтали

Найти:

α – угол, под которым нужно направить ствол ружья к горизонту

Решение:

Введем систему координат. Начало координат (0, 0) расположим в точке, где находится охотник. Ось OX направим горизонтально в сторону дерева, а ось OY – вертикально вверх.

В начальный момент времени $t=0$ координаты птицы: $x_п = l$, $y_п = H$.

Пуля вылетает из ружья с начальной скоростью $v_0$ под углом α к горизонту.

Запишем уравнения движения для пули. Движение пули – это движение тела, брошенного под углом к горизонту:

Координата x пули в момент времени t:

$x_{пули}(t) = (v_0 \cos \alpha) t$

Координата y пули в момент времени t:

$y_{пули}(t) = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Теперь запишем уравнения движения для птицы. В момент выстрела ($t=0$) птица начинает свободно падать с высоты H. Ее начальная скорость равна нулю.

Координата x птицы в момент времени t (она не меняется, так как птица падает вертикально):

$x_{птицы}(t) = l$

Координата y птицы в момент времени t:

$y_{птицы}(t) = H - \frac{gt^2}{2}$

Чтобы пуля попала в птицу, их координаты должны совпасть в некоторый момент времени $t_{встречи}$.

$x_{пули}(t_{встречи}) = x_{птицы}(t_{встречи})$

$y_{пули}(t_{встречи}) = y_{птицы}(t_{встречи})$

Приравняем координаты x:

$(v_0 \cos \alpha) t_{встречи} = l$

Отсюда можно выразить время до встречи:

$t_{встречи} = \frac{l}{v_0 \cos \alpha}$

Теперь приравняем координаты y:

$(v_0 \sin \alpha) t_{встречи} - \frac{gt_{встречи}^2}{2} = H - \frac{gt_{встречи}^2}{2}$

Как видно, слагаемое $\frac{gt_{встречи}^2}{2}$, отвечающее за влияние силы тяжести, сокращается. Это означает, что за время полета пули она опустится ровно на столько же, на сколько упадет птица.

После сокращения получаем:

$(v_0 \sin \alpha) t_{встречи} = H$

Подставим в это уравнение выражение для $t_{встречи}$ из уравнения для координаты x:

$(v_0 \sin \alpha) \cdot (\frac{l}{v_0 \cos \alpha}) = H$

Начальная скорость $v_0$ сокращается:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot l = H$

Поскольку $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$, получаем:

$\tan \alpha \cdot l = H$

Отсюда находим тангенс угла:

$\tan \alpha = \frac{H}{l}$

Этот результат означает, что охотник должен целиться прямо в то место, где птица сидела в начальный момент времени, не делая поправки на ее падение.

Ответ: Охотник должен направить ствол ружья под таким углом α к горизонту, чтобы тангенс этого угла был равен отношению высоты H к расстоянию l: $\tan \alpha = \frac{H}{l}$. Другими словами, целиться нужно прямо в птицу.