Номер 5, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 16. Кинематика периодического движения. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 5, страница 72.

Условие.

5. Как зависят координата колеблющейся точки, её скорость и ускорение от времени при гармонических колебаниях?

Решение.

При гармонических колебаниях координата, скорость и ускорение колеблющейся точки изменяются с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Рассмотрим каждую зависимость подробнее.

Зависимость координаты колеблющейся точки от времени

Координата $x$ точки, совершающей гармонические колебания, зависит от времени $t$ по закону косинуса (или синуса). Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$
где:
$A$ – амплитуда колебаний (максимальное смещение точки от положения равновесия);
$\omega$ – циклическая (или круговая) частота колебаний;
$t$ – время;
$\phi_0$ – начальная фаза колебаний (определяет положение точки в начальный момент времени $t=0$);
$(\omega t + \phi_0)$ – фаза колебаний в момент времени $t$.

Ответ: Координата колеблющейся точки при гармонических колебаниях изменяется со временем по закону $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.

Зависимость скорости колеблющейся точки от времени

Скорость $v$ колеблющейся точки является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.
$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \phi_0)) = -A \omega \sin(\omega t + \phi_0)$
Используя тригонометрическое тождество $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$, можно записать:
$v(t) = A \omega \cos(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$
Из этой формулы видно, что колебания скорости опережают колебания координаты по фазе на $\frac{\pi}{2}$ (или на 90°). Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равно $v_{max} = A \omega$.

Ответ: Скорость колеблющейся точки при гармонических колебаниях изменяется со временем по закону $v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi_0)$, опережая координату по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Зависимость ускорения колеблющейся точки от времени

Ускорение $a$ колеблющейся точки является первой производной от скорости по времени (или второй производной от координаты): $a(t) = v'(t) = x''(t)$.
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A \omega \sin(\omega t + \phi_0)) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$
Так как $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, то можно записать связь между ускорением и координатой:
$a(t) = -\omega^2 x(t)$
Это основное уравнение гармонического осциллятора, показывающее, что ускорение пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону (к положению равновесия).
Используя тригонометрическое тождество $-\cos(\alpha) = \cos(\alpha + \pi)$, можно записать:
$a(t) = A \omega^2 \cos(\omega t + \phi_0 + \pi)$
Колебания ускорения опережают колебания координаты по фазе на $\pi$ (или на 180°), то есть происходят в противофазе. Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) равно $a_{max} = A \omega^2$.

Ответ: Ускорение колеблющейся точки при гармонических колебаниях изменяется со временем по закону $a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$ и находится в противофазе с координатой.