Номер 3, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 16. Кинематика периодического движения. Задачи - номер 3, страница 72.

Условие.

3. Найдите нормальное и тангенциальное ускорения конца секундной, минутной и часовой стрелок наручных часов, если их длина соответственно равна 1,5, 1 и 0,5 см.

Решение.

Дано

Длина секундной стрелки, $R_с = 1,5$ см = $0,015$ м.

Длина минутной стрелки, $R_м = 1$ см = $0,01$ м.

Длина часовой стрелки, $R_ч = 0,5$ см = $0,005$ м.

Период обращения секундной стрелки, $T_с = 60$ с.

Период обращения минутной стрелки, $T_м = 60$ мин = $3600$ с.

Период обращения часовой стрелки, $T_ч = 12$ ч = $43200$ с.

Найти:

Нормальное ($a_n$) и тангенциальное ($a_\tau$) ускорения для конца каждой стрелки: $a_{nс}$, $a_{\tau с}$, $a_{nм}$, $a_{\tau м}$, $a_{nч}$, $a_{\tau ч}$.

Решение

Движение концов стрелок наручных часов является равномерным движением по окружности. При равномерном движении по окружности величина линейной скорости остается постоянной, изменяется только ее направление.

Тангенциальное (касательное) ускорение ($a_\tau$) характеризует быстроту изменения модуля скорости. Так как скорость постоянна, тангенциальное ускорение для всех трех стрелок равно нулю.

$a_\tau = 0$

Нормальное (центростремительное) ускорение ($a_n$) характеризует быстроту изменения направления вектора скорости и направлено к центру окружности. Оно вычисляется по формуле:

$a_n = \omega^2 R$

где $R$ – радиус окружности (длина стрелки), а $\omega$ – угловая скорость. Угловую скорость можно найти через период обращения $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставив выражение для угловой скорости в формулу для нормального ускорения, получим:

$a_n = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Рассчитаем нормальные ускорения для каждой стрелки.

Для секундной стрелки

Тангенциальное ускорение: $a_{\tau с} = 0$ м/с².

Нормальное ускорение:

$a_{nс} = \frac{4\pi^2 R_с}{T_с^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,015 \text{ м}}{(60 \text{ с})^2} = \frac{0,06\pi^2}{3600} \approx \frac{0,592}{3600} \approx 1,64 \cdot 10^{-4}$ м/с².

Ответ: Нормальное ускорение $a_{nс} \approx 1,64 \cdot 10^{-4}$ м/с², тангенциальное ускорение $a_{\tau с} = 0$ м/с².

Для минутной стрелки

Тангенциальное ускорение: $a_{\tau м} = 0$ м/с².

Нормальное ускорение:

$a_{nм} = \frac{4\pi^2 R_м}{T_м^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,01 \text{ м}}{(3600 \text{ с})^2} = \frac{0,04\pi^2}{12960000} \approx \frac{0,395}{12960000} \approx 3,05 \cdot 10^{-8}$ м/с².

Ответ: Нормальное ускорение $a_{nм} \approx 3,05 \cdot 10^{-8}$ м/с², тангенциальное ускорение $a_{\tau м} = 0$ м/с².

Для часовой стрелки

Тангенциальное ускорение: $a_{\tau ч} = 0$ м/с².

Нормальное ускорение:

$a_{nч} = \frac{4\pi^2 R_ч}{T_ч^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,005 \text{ м}}{(43200 \text{ с})^2} = \frac{0,02\pi^2}{1866240000} \approx \frac{0,197}{1866240000} \approx 1,06 \cdot 10^{-10}$ м/с².

Ответ: Нормальное ускорение $a_{nч} \approx 1,06 \cdot 10^{-10}$ м/с², тангенциальное ускорение $a_{\tau ч} = 0$ м/с².