Номер 4, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 16. Кинематика периодического движения. Задачи - номер 4, страница 72.

Условие.

4. Частица совершает гармонические колебания по закону $x = 24\cos \frac{\pi}{12} t$ (см). Как зависят проекции скорости и ускорения частицы на ось X от времени? Определите координату частицы, проекции её скорости и ускорения на ось X в момент времени $t = 4$ с.

Решение.

Дано:

Уравнение гармонических колебаний: $x = 24\cos\left(\frac{\pi}{12} t\right)$ (см)

Момент времени: $t = 4$ с

Перевод в СИ:

Амплитуда $A = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$.

Уравнение в СИ: $x = 0.24\cos\left(\frac{\pi}{12} t\right)$ (м).

Время $t = 4$ с.

Найти:

$v_x(t) - ?$

$a_x(t) - ?$

$x(t=4 \text{ с}) - ?$

$v_x(t=4 \text{ с}) - ?$

$a_x(t=4 \text{ с}) - ?$

Решение:

Как зависят проекции скорости и ускорения частицы на ось Х от времени?

Проекция скорости $v_x$ на ось X является первой производной от координаты $x$ по времени $t$. Для нахождения зависимости продифференцируем уравнение движения по времени:

$v_x(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}\left(24\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)\right) = 24 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\right) \cdot \frac{\pi}{12} = -2\pi\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)$.

Так как координата задана в сантиметрах, а время в секундах, то скорость будет измеряться в см/с.

Проекция ускорения $a_x$ на ось X является первой производной от проекции скорости $v_x$ по времени $t$. Продифференцируем полученное уравнение для скорости:

$a_x(t) = v_x'(t) = \frac{d}{dt}\left(-2\pi\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\right) = -2\pi \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) \cdot \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi^2}{12}\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) = -\frac{\pi^2}{6}\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)$.

Ускорение будет измеряться в см/с².

Ответ: Зависимость проекции скорости от времени: $v_x(t) = -2\pi\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)$ (см/с). Зависимость проекции ускорения от времени: $a_x(t) = -\frac{\pi^2}{6}\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)$ (см/с²).

Определите координату частицы, проекции её скорости и ускорения на ось Х в момент времени t = 4 с.

Для нахождения искомых величин подставим значение времени $t = 4$ с в уравнения для координаты, скорости и ускорения.

Координата частицы:

$x(4) = 24\cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot 4\right) = 24\cos\left(\frac{4\pi}{12}\right) = 24\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$x(4) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Проекция скорости частицы:

$v_x(4) = -2\pi\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 4\right) = -2\pi\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$v_x(4) = -2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\pi\sqrt{3}$ см/с.

Проекция ускорения частицы:

$a_x(4) = -\frac{\pi^2}{6}\cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot 4\right) = -\frac{\pi^2}{6}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi^2}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\pi^2}{12}$ см/с².

Приблизительные значения и перевод в СИ:

$x(4) = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

$v_x(4) = -\pi\sqrt{3} \approx -5.44 \text{ см/с} \approx -0.054 \text{ м/с}$.

$a_x(4) = -\frac{\pi^2}{12} \approx -0.822 \text{ см/с²} \approx -0.0082 \text{ м/с²}$.

Ответ: В момент времени $t = 4$ с координата частицы $x = 12$ см, проекция скорости $v_x = -\pi\sqrt{3}$ см/с, проекция ускорения $a_x = -\frac{\pi^2}{12}$ см/с².