Номер 3, страница 62 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 15. Баллистическое движение. Задачи - номер 3, страница 62.

Условие.

3. Длина скачка блохи на столе, прыгающей под углом $45^\circ$ к горизонту, равна 20 см. Во сколько раз высота её подъёма над столом превышает её собственную длину, составляющую 0,4 мм?

Решение.

Дано:

Длина скачка (дальность полета), $L = 20$ см = $0.2$ м

Угол прыжка к горизонту, $\alpha = 45^\circ$

Собственная длина блохи, $l = 0.4$ мм = $0.0004$ м

Найти:

Отношение высоты подъема к длине блохи, $\frac{H}{l}$

Решение:

Движение блохи представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дальность полета $L$ и максимальная высота подъема $H$ в этом случае описываются формулами:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

где $v_0$ — начальная скорость, а $g$ — ускорение свободного падения.

Для нахождения связи между высотой и дальностью, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{H}{L} = \frac{\frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}}{\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} \cdot \frac{g}{v_0^2 \sin(2\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{2\sin(2\alpha)}$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:

$\frac{H}{L} = \frac{\sin^2(\alpha)}{2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{4\cos(\alpha)} = \frac{\tan(\alpha)}{4}$

Из этого соотношения выразим максимальную высоту подъема $H$:

$H = \frac{L \cdot \tan(\alpha)}{4}$

Подставим значения из условия задачи. Учитывая, что $\tan(45^\circ) = 1$:

$H = \frac{0.2 \text{ м} \cdot 1}{4} = 0.05$ м

Теперь найдем, во сколько раз высота подъема превышает собственную длину блохи:

$\frac{H}{l} = \frac{0.05 \text{ м}}{0.0004 \text{ м}} = \frac{500}{4} = 125$

Ответ: Высота подъема блохи над столом превышает ее собственную длину в 125 раз.