Номер 3, страница 62 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 15. Баллистическое движение. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 3, страница 62.

Условие.

3. Какой угол должна составлять начальная скорость тела с горизонтом, чтобы дальность полёта в отсутствие сопротивления воздуха была максимальной? Приведите необходимую формулу для аргументации.

Решение.

Дано

Тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $α$ к горизонту.
Сопротивление воздуха отсутствует.

Найти:

Угол $α$, при котором дальность полёта $L$ будет максимальной ($L_{max}$).

Решение

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное по вертикали (ось Oy) с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз.

Проекции начальной скорости на оси координат:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(α)$
Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(α)$

Запишем уравнения движения:

Координата по оси Ox: $x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(α) t$
Координата по оси Oy: $y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(α) t - \frac{gt^2}{2}$

Найдем общее время полета $t_{пол}$. Полет заканчивается, когда тело возвращается на начальную высоту, то есть $y(t_{пол}) = 0$.

$v_0 \sin(α) t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2} = 0$

$t_{пол} (v_0 \sin(α) - \frac{gt_{пол}}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t = 0$ (момент броска) и $t_{пол} = \frac{2v_0 \sin(α)}{g}$.

Дальность полета $L$ – это расстояние, которое тело пролетело по горизонтали за время $t_{пол}$.

$L = x(t_{пол}) = v_0 \cos(α) t_{пол} = v_0 \cos(α) \frac{2v_0 \sin(α)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin(α)\cos(α)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $2\sin(α)\cos(α) = \sin(2α)$, получим формулу для дальности полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2α)}{g}$

Это и есть необходимая формула для аргументации. Чтобы дальность полета $L$ была максимальной при заданной начальной скорости $v_0$, необходимо, чтобы значение $\sin(2α)$ было максимальным. Максимальное значение функции синус равно 1.

$\sin(2α) = 1$

Это достигается, когда аргумент синуса равен $90°$.

$2α = 90°$

$α = 45°$

Ответ: Чтобы дальность полёта была максимальной, начальная скорость тела должна составлять угол $45°$ с горизонтом.