Номер 2, страница 55 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 14. Графики зависимости пути, перемещения, скорости и ускорения от времени при равнопеременном движении. Задачи - номер 2, страница 55.

Условие.

2. С крыши дома через промежуток времени $ \tau $ одна за другой падают капли. Запишите закон движения капель. Постройте в одних координатных осях $ Y, t $ графики движения первой, второй, третьей, $ n $-й капель.

Решение.

Дано:

Промежуток времени между падением капель: $\tau$

Найти:

Закон движения капель; графики движения первой, второй, третьей, n-й капель.

Решение:

Закон движения капель

Для описания движения выберем систему отсчета, связанную с землей. Начало координат ($Y=0$) расположим в точке отрыва капель (на крыше), а ось $Y$ направим вертикально вниз. Момент времени $t=0$ соответствует началу падения первой капли. Капли падают из состояния покоя, поэтому их начальная скорость равна нулю. Движение капель является свободным падением, то есть равноускоренным движением с ускорением $a_y = g$.

Общее уравнение для координаты тела при равноускоренном движении имеет вид: $Y(t_{полета}) = Y_0 + v_{0y}t_{полета} + \frac{a_y t_{полета}^2}{2}$. В нашем случае $Y_0 = 0$ и $v_{0y} = 0$, следовательно, $Y = \frac{g t_{полета}^2}{2}$, где $t_{полета}$ — это время, в течение которого капля находится в свободном полете.

Для первой капли ($n=1$): она начинает падать в момент времени $t=0$. Время ее полета в любой момент $t \ge 0$ равно $t_{полета} = t$. Закон движения для первой капли:

$Y_1(t) = \frac{gt^2}{2}$ (при $t \ge 0$)

Для второй капли ($n=2$): она начинает падать в момент времени $t=\tau$. Время ее полета в любой момент $t \ge \tau$ составляет $t_{полета} = t - \tau$. Закон движения для второй капли:

$Y_2(t) = \frac{g(t - \tau)^2}{2}$ (при $t \ge \tau$)

Для третьей капли ($n=3$): она начинает падать в момент времени $t=2\tau$. Время ее полета в любой момент $t \ge 2\tau$ составляет $t_{полета} = t - 2\tau$. Закон движения для третьей капли:

$Y_3(t) = \frac{g(t - 2\tau)^2}{2}$ (при $t \ge 2\tau$)

Обобщая, для n-й капли: она начинает падать в момент времени $t=(n-1)\tau$. Время ее полета в любой момент $t \ge (n-1)\tau$ составляет $t_{полета} = t - (n-1)\tau$. Таким образом, общий закон движения для n-й капли:

$Y_n(t) = \frac{g(t - (n-1)\tau)^2}{2}$ (при $t \ge (n-1)\tau$)

До начала падения координата каждой капли равна нулю.

Ответ: Закон движения n-й капли: $Y_n(t) = \frac{g(t - (n-1)\tau)^2}{2}$ при $t \ge (n-1)\tau$, и $Y_n(t)=0$ при $t < (n-1)\tau$.

Построение графиков движения

Графики зависимости координаты от времени $Y(t)$ для всех капель представляют собой ветви парабол. Построим их в одной системе координат $Y, t$.

График для первой капли, $Y_1(t) = \frac{gt^2}{2}$, — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0, 0)$.

График для второй капли, $Y_2(t) = \frac{g(t-\tau)^2}{2}$, — это та же парабола, но смещенная по оси времени $t$ вправо на величину $\tau$. Ее вершина находится в точке $(\tau, 0)$.

График для третьей капли, $Y_3(t) = \frac{g(t-2\tau)^2}{2}$, смещен по оси времени $t$ вправо на $2\tau$. Его вершина находится в точке $(2\tau, 0)$.

График для n-й капли, $Y_n(t) = \frac{g(t-(n-1)\tau)^2}{2}$, смещен по оси времени $t$ вправо на $(n-1)\tau$. Его вершина находится в точке $((n-1)\tau, 0)$.

Таким образом, графики движения всех капель представляют собой семейство одинаковых парабол, последовательно смещенных друг относительно друга вдоль оси времени на интервал $\tau$.

Схематическое изображение графиков:

Ответ: Графики движения капель — это семейство идентичных парабол, сдвинутых вдоль оси времени $t$ на величины $0, \tau, 2\tau, ..., (n-1)\tau$ соответственно для первой, второй, третьей, ..., n-й капли.