Номер 5, страница 55 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 14. Графики зависимости пути, перемещения, скорости и ускорения от времени при равнопеременном движении. Задачи - номер 5, страница 55.

Условие.

5. По данным рисунка 42, $\text{a}$ оцените начальную скорость $v_0$ мяча, брошенного вертикально вверх. Постройте графики перемещения и пути мяча, выбрав начало отсчёта на поверхности Земли.

Решение.

Так как рисунок 42, а, на который ссылается условие задачи, не предоставлен, для решения сделаем обоснованное предположение. Обычно в таких задачах на рисунке показана траектория движения с указанием максимальной высоты подъема или времени полета. Предположим, что из рисунка можно определить, что максимальная высота подъема мяча составляет $h_{max} = 5$ м. Ускорение свободного падения $g$ примем равным $10 \text{ м/с}^2$. Начало отсчета (ось Oy) направим вертикально вверх от поверхности Земли.

Оцените начальную скорость v₀ мяча, брошенного вертикально вверх.

Дано:
$h_{max} = 5 \text{ м}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:
$v_0$ - начальная скорость мяча.

Решение:
При движении тела, брошенного вертикально вверх, его скорость и высота изменяются со временем. В верхней точке траектории, на максимальной высоте $h_{max}$, скорость мяча становится равной нулю ($v = 0$).
Воспользуемся формулой, связывающей перемещение, начальную и конечную скорости и ускорение, при равноускоренном движении: $h_{max} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$ В нашем случае конечная скорость $v = 0$, а ускорение $a = -g$ (так как вектор ускорения свободного падения направлен противоположно начальной скорости).
$h_{max} = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$
Отсюда выразим начальную скорость $v_0$:
$v_0^2 = 2gh_{max}$
$v_0 = \sqrt{2gh_{max}}$
Подставим числовые значения:
$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость мяча $v_0 = 10 \text{ м/с}$.

---

Постройте графики перемещения и пути мяча, выбрав начало отсчёта на поверхности Земли.

Решение:
Для построения графиков необходимо найти зависимости перемещения $s_y(t)$ и пути $l(t)$ от времени. Сначала найдем общее время полета мяча.
Время подъема до максимальной высоты $t_{под}$ можно найти из уравнения скорости $v(t) = v_0 - gt$. В верхней точке $v(t_{под})=0$, следовательно:
$0 = v_0 - gt_{под} \Rightarrow t_{под} = \frac{v_0}{g} = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 1 \text{ с}$
Так как сопротивление воздуха не учитывается, время падения $t_{пад}$ равно времени подъема, $t_{пад} = t_{под} = 1 \text{ с}$. Общее время полета $t_{общ} = t_{под} + t_{пад} = 2 \text{ с}$.

1. График перемещения $s_y(t)$
Перемещение по вертикали совпадает с координатой $y(t)$, так как движение начинается из точки $y_0 = 0$. Уравнение для координаты:
$s_y(t) = y(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$
Подставив наши значения, получим:
$s_y(t) = 10t - 5t^2$ (для $0 \le t \le 2 \text{ с}$)
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

• При $t=0$, $s_y(0) = 0$.
• При $t=1 \text{ с}$, $s_y(1) = 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 5 \text{ м}$ (максимальная высота).
• При $t=2 \text{ с}$, $s_y(2) = 10 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 20 - 20 = 0$ (возвращение на землю).

Таким образом, график перемещения – это дуга параболы, начинающаяся в точке (0; 0), достигающая вершины в точке (1 с; 5 м) и заканчивающаяся в точке (2 с; 0).

2. График пути $l(t)$
Путь – это длина траектории, он не может уменьшаться.
- На участке подъема ($0 \le t \le 1 \text{ с}$), мяч движется в одном направлении, поэтому путь равен модулю перемещения:
$l(t) = s_y(t) = 10t - 5t^2$
- На участке падения ($1 \text{ с} < t \le 2 \text{ с}$), путь равен максимальной высоте плюс расстояние, пройденное вниз от верхней точки. Расстояние, пройденное вниз за время $(t - t_{под})$: $\frac{g(t - t_{под})^2}{2}$.
$l(t) = h_{max} + \frac{g(t-1)^2}{2} = 5 + 5(t-1)^2$
Проверим значения в ключевых точках:

• При $t=0$, $l(0) = 0$.
• При $t=1 \text{ с}$, $l(1) = 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 5 \text{ м}$.
• При $t=2 \text{ с}$, $l(2) = 5 + 5(2-1)^2 = 5 + 5 = 10 \text{ м}$.

График пути состоит из двух параболических сегментов. Первый сегмент от (0; 0) до (1 с; 5 м) совпадает с графиком перемещения. Второй сегмент от (1 с; 5 м) до (2 с; 10 м) представляет собой ветвь параболы, симметричную отраженной первой части относительно горизонтальной линии $y=5$. В точке (1 с; 5 м) касательная к графику пути горизонтальна, так как скорость в этот момент равна нулю.

Ответ: График перемещения $s_y(t)$ является параболой $s_y(t) = 10t - 5t^2$ с вершиной в точке (1 с; 5 м), начинающейся и заканчивающейся на оси времени в точках $t=0$ и $t=2$ с. График пути $l(t)$ совпадает с графиком перемещения на интервале $[0, 1]$ с, а на интервале $[1, 2]$ с описывается уравнением $l(t) = 5 + 5(t-1)^2$, представляя собой непрерывно возрастающую кривую, достигающую значения 10 м при $t=2$ с.