Номер 4, страница 55 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 14. Графики зависимости пути, перемещения, скорости и ускорения от времени при равнопеременном движении. Задачи - номер 4, страница 55.

Условие.

4. Тело свободно падает с высоты $\text{H}$ без начальной скорости. Какой путь оно проходит в последнюю секунду падения на Землю?

Решение.

Дано:

$H$ - начальная высота

$v_0 = 0$ - начальная скорость

$g$ - ускорение свободного падения

$Δt = 1$ с - последняя секунда падения

Найти:

$Δh$ - путь, пройденный за последнюю секунду.

Решение:

Путь, пройденный телом при свободном падении без начальной скорости за время $t$, определяется формулой:

$s(t) = \frac{gt^2}{2}$

1. Сначала найдем общее время падения тела ($t_{полн}$) с высоты $H$. В этот момент пройденный путь $s$ равен высоте $H$.

$H = \frac{gt_{полн}^2}{2}$

Выразим отсюда полное время падения:

$t_{полн} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

2. Путь, пройденный за последнюю секунду падения ($Δh$), можно найти как разность между всем путем $H$ и путем, пройденным за время $t_1 = t_{полн} - 1$ с.

Путь, пройденный за время $t_1$, равен:

$h_1 = s(t_1) = \frac{g(t_{полн} - 1)^2}{2}$

3. Теперь найдем искомую разность $Δh$:

$Δh = H - h_1$

Подставим выражения для $H$ и $h_1$:

$Δh = \frac{gt_{полн}^2}{2} - \frac{g(t_{полн} - 1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки:

$Δh = \frac{g}{2} (t_{полн}^2 - (t_{полн} - 1)^2)$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ или раскрыв квадрат разности:

$Δh = \frac{g}{2} (t_{полн}^2 - (t_{полн}^2 - 2t_{полн} + 1))$

$Δh = \frac{g}{2} (t_{полн}^2 - t_{полн}^2 + 2t_{полн} - 1)$

$Δh = \frac{g}{2} (2t_{полн} - 1)$

4. Подставим в полученное выражение найденное ранее значение для $t_{полн}$:

$Δh = \frac{g}{2} (2\sqrt{\frac{2H}{g}} - 1)$

Это и есть итоговая формула для пути, пройденного телом за последнюю секунду падения.

Ответ: $Δh = \frac{g}{2}(2\sqrt{\frac{2H}{g}}-1)$.