Номер 5, страница 62 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 15. Баллистическое движение. Вопросы - номер 5, страница 62.

Условие.

5. Определите угол, при котором максимальная высота подъёма снаряда равна максимальной дальности полёта.

Решение.

Дано:

$H_{max} = R_{max}$

где $H_{max}$ — максимальная высота подъёма снаряда, $R_{max}$ — максимальная дальность полёта.

Найти:

$\alpha$ — ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (в данном случае снаряда), при пренебрежении сопротивлением воздуха описывается известными формулами для максимальной высоты подъёма ($H_{max}$) и дальности полёта ($R_{max}$):

$H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

$R_{max} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $g$ — ускорение свободного падения.

Согласно условию задачи, максимальная высота подъёма равна дальности полёта:

$H_{max} = R_{max}$

Подставим выражения для $H_{max}$ и $R_{max}$ в это равенство:

$\frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Сократим одинаковые множители ($v_0^2$ и $g$) в обеих частях уравнения, так как начальная скорость и ускорение свободного падения не равны нулю:

$\frac{\sin^2(\alpha)}{2} = \sin(2\alpha)$

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

$\frac{\sin^2(\alpha)}{2} = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Мы ищем нетривиальное решение, при котором угол $\alpha$ находится в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, следовательно, $\sin(\alpha) \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(\alpha)$:

$\frac{\sin(\alpha)}{2} = 2\cos(\alpha)$

Теперь выразим тангенс угла $\alpha$, который по определению равен $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Для этого разделим обе части на $\cos(\alpha)$ (так как $\cos(\alpha) \neq 0$ для углов в указанном интервале) и умножим на 2:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 4$

$\tan(\alpha) = 4$

Из этого уравнения находим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(4)$

Вычислим приближенное значение угла в градусах:

$\alpha \approx 75.96^\circ \approx 76^\circ$

Ответ: Угол, при котором максимальная высота подъёма снаряда равна максимальной дальности полёта, равен $\arctan(4)$, что составляет примерно $76^\circ$.