Номер 4, страница 62 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 15. Баллистическое движение. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 4, страница 62.

Условие.

4. Мяч, брошенный под углом $45^{\circ}$ к горизонту, упруго отскочив от вертикальной стены, расположенной на расстоянии $\text{L}$ от точки бросания, ударяется о землю на расстоянии $\text{l}$ от стены. С какой начальной скоростью был брошен мяч?

Решение.

Дано:

Угол броска: $\alpha = 45^\circ$

Расстояние до стены: $L$

Расстояние от стены до точки падения: $l$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Начальную скорость мяча: $v_0$

Решение:

Движение мяча является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Разложим это движение на две составляющие: горизонтальную (вдоль оси Ox) и вертикальную (вдоль оси Oy). Начало координат поместим в точку бросания.

Начальные компоненты скорости:

Горизонтальная: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

Вертикальная: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Уравнения движения для координат мяча в зависимости от времени $t$:

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos\alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

По условию, отскок от вертикальной стены является упругим. Это означает, что при столкновении со стеной вертикальная составляющая скорости мяча не изменяется, а горизонтальная составляющая меняет свой знак на противоположный, сохраняя свою величину. Таким образом, вертикальное движение мяча (подъем и падение) происходит точно так же, как если бы стены не было.

Найдем полное время полета мяча $T$. Это время, за которое мяч вернется на начальную высоту ($y=0$).

$y(T) = (v_0 \sin\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$

Поскольку нас интересует время всего полета ($T \neq 0$), мы можем разделить уравнение на $T$:

$(v_0 \sin\alpha) - \frac{gT}{2} = 0$

Отсюда полное время полета:

$T = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$

Теперь рассмотрим горизонтальное движение. Модуль горизонтальной скорости на протяжении всего полета остается постоянным и равным $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$. Мяч сначала пролетает расстояние $L$ до стены, а после отскока — расстояние $l$ в обратном направлении. Суммарный путь, пройденный мячом в горизонтальном направлении, равен $L+l$.

Этот путь можно выразить через постоянную горизонтальную скорость и общее время полета:

$L+l = v_{0x} \cdot T = (v_0 \cos\alpha) \cdot T$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для времени полета $T$:

$L+l = (v_0 \cos\alpha) \cdot \left(\frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}\right)$

$L+l = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin\alpha \cos\alpha}{g}$

Используем тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $:

$L+l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из этого уравнения выразим искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{g(L+l)}{\sin(2\alpha)}$

$v_0 = \sqrt{\frac{g(L+l)}{\sin(2\alpha)}}$

Подставим в полученную формулу заданное значение угла $\alpha = 45^\circ$:

$\sin(2 \cdot 45^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Тогда:

$v_0 = \sqrt{\frac{g(L+l)}{1}} = \sqrt{g(L+l)}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{g(L+l)}$