Номер 1, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 29. Потенциальная энергия. 4. Законы сохранения. Механика - номер 1, страница 130.

Условие.

1. При каком условии сила является потенциальной?

Решение.

1. Сила называется потенциальной (или консервативной), если работа, совершаемая этой силой при перемещении тела из одной точки пространства в другую, не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела.

Это основное физическое условие. Из него вытекают несколько эквивалентных формулировок:

• Работа потенциальной силы по любому замкнутому контуру равна нулю. Математически это выражается через криволинейный интеграл второго рода:

  $A_{замкнутая} = \oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$

  где $L$ — произвольный замкнутый контур, $\vec{F}$ — вектор силы, а $d\vec{r}$ — вектор элементарного перемещения.

• Потенциальную силу можно представить в виде градиента некоторой скалярной функции $U(x, y, z)$, называемой потенциальной энергией, взятого с обратным знаком:

  $\vec{F} = -\nabla U = - \left( \frac{\partial U}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec{k} \right)$

  Существование такой функции $U$ является прямым следствием независимости работы от пути.

• Математическим критерием потенциальности векторного поля силы $\vec{F}$ является равенство нулю его ротора (вихря):

  $\nabla \times \vec{F} = 0$

  Это условие означает, что силовое поле является безвихревым. Если ротор смешанного произведения $(\nabla \times \vec{F})$ равен нулю, то $\vec{F}$ можно представить как градиент скалярного поля, что возвращает нас к предыдущему пункту.

Примерами потенциальных сил являются гравитационная сила, электростатическая сила (сила Кулона) и сила упругости. Сила трения, сопротивление воздуха являются примерами непотенциальных (диссипативных) сил, так как их работа зависит от длины траектории.

Ответ: Сила является потенциальной, если её работа при перемещении тела между двумя точками не зависит от траектории. Эквивалентно, работа силы по любому замкнутому пути равна нулю. Математическим условием является равенство нулю ротора силового поля ($\nabla \times \vec{F} = 0$), что позволяет представить силу как отрицательный градиент скалярной функции потенциальной энергии ($\vec{F} = -\nabla U$).