Номер 4, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 29. Потенциальная энергия. 4. Законы сохранения. Механика - номер 4, страница 131.

Условие.

4. В чём состоит принцип минимума потенциальной энергии? Почему потенциальная сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии?

Решение.

В чём состоит принцип минимума потенциальной энергии?

Принцип минимума потенциальной энергии гласит, что любая механическая система, находящаяся под действием только консервативных (потенциальных) сил, находится в состоянии устойчивого равновесия, если её потенциальная энергия имеет локальный минимум. Это означает, что система стремится занять такое положение или конфигурацию, в которой её запас потенциальной энергии является наименьшим из всех возможных в окрестности данного положения. Когда система находится в состоянии с минимальной потенциальной энергией, любое малое смещение из этого положения приводит к увеличению её потенциальной энергии, и возникают возвращающие силы, стремящиеся вернуть систему в исходное состояние равновесия.

Математически условие равновесия системы — это равенство нулю равнодействующей всех сил. Для потенциальной энергии $U$, зависящей от одной координаты $x$, это соответствует точке, где первая производная энергии по координате равна нулю: $\frac{dU}{dx} = 0$. Для того чтобы это равновесие было устойчивым (соответствовало минимуму энергии), вторая производная должна быть положительной: $\frac{d^2U}{dx^2} > 0$.

Ответ: Принцип минимума потенциальной энергии заключается в том, что состояние устойчивого равновесия механической системы соответствует локальному минимуму её потенциальной энергии.

Почему потенциальная сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии?

Связь между консервативной (потенциальной) силой $\vec{F}$ и потенциальной энергией $U$ определяется через градиент. Сила является антиградиентом потенциальной энергии, что выражается формулой:

$\vec{F} = -\nabla U$

В одномерном случае для проекции силы $F_x$ на ось $x$ эта формула принимает вид:

$F_x = -\frac{dU}{dx}$

В этих формулах вектор градиента $\nabla U$ (или производная $\frac{dU}{dx}$ в одномерном случае) по своему математическому смыслу указывает направление, в котором потенциальная энергия $U$ возрастает наиболее быстро. Знак "минус" в формуле показывает, что вектор силы $\vec{F}$ направлен в сторону, прямо противоположную вектору градиента. Таким образом, сила всегда направлена в сторону наискорейшего убывания потенциальной энергии. Это можно представить как движение шарика по рельефной поверхности: сила тяжести всегда будет толкать его вниз по склону, то есть в сторону уменьшения его потенциальной энергии.

Также это следует из определения работы. Работа $A$, совершаемая консервативной силой, равна изменению потенциальной энергии со знаком минус: $A = -\Delta U$. Чтобы сила совершала положительную работу ($A > 0$), потенциальная энергия должна уменьшаться ($\Delta U < 0$). Положительная работа совершается тогда, когда направление силы совпадает с направлением перемещения. Следовательно, сила направлена в ту сторону, перемещение в которую приводит к уменьшению потенциальной энергии.

Ответ: Потенциальная сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии, так как по определению она равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком ($\vec{F} = -\nabla U$). Знак "минус" в этой формуле означает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению наискорейшего роста энергии, то есть в сторону её наискорейшего убывания.