Номер 3, страница 217 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 7. Релятивистская механика. Параграф 46. Взаимосвязь энергии и массы. Задачи - номер 3, страница 217.

Условие.

3. Энергия протона, вылетающего с поверхности Солнца в сторону Земли, равна 1083 МэВ. Через какой промежуток времени с момента вылета протона экспериментатор на Земле сможет зафиксировать его приземление?

Решение.

Дано:

Кинетическая энергия протона $K = 1083$ МэВ

Для решения задачи также потребуются справочные данные:

Среднее расстояние от Солнца до Земли $S = 1.496 \cdot 10^{11}$ м (1 астрономическая единица)

Энергия покоя протона $E_0 \approx 938$ МэВ

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в СИ:

$K = 1083 \text{ МэВ} = 1083 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 1083 \cdot 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.735 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

$E_0 \approx 938 \text{ МэВ} = 938 \cdot 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.503 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Масса покоя протона $m_p = \frac{E_0}{c^2} \approx \frac{1.503 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} \approx 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг

Найти:

Промежуток времени $t$

Решение:

Поскольку кинетическая энергия протона ($K = 1083$ МэВ) сопоставима с его энергией покоя ($E_0 \approx 938$ МэВ), скорость протона будет близка к скорости света. Следовательно, для расчетов необходимо использовать формулы специальной теории относительности.

Полная энергия протона $E$ является суммой его энергии покоя $E_0$ и кинетической энергии $K$:

$E = K + E_0$

Для удобства вычислений будем использовать энергию в мегаэлектронвольтах (МэВ):

$E = 1083 \text{ МэВ} + 938 \text{ МэВ} = 2021 \text{ МэВ}$

Полная релятивистская энергия также связана со скоростью частицы $v$ через формулу:

$E = \gamma E_0$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ – релятивистский фактор (фактор Лоренца).

Из этого соотношения мы можем найти фактор Лоренца для данного протона:

$\gamma = \frac{E}{E_0} = \frac{2021 \text{ МэВ}}{938 \text{ МэВ}} \approx 2.1546$

Теперь выразим скорость протона $v$ через фактор Лоренца:

$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2}$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2}$

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

Подставим численное значение $\gamma$:

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{2.1546^2}} = c \sqrt{1 - \frac{1}{4.6423}} \approx c \sqrt{1 - 0.2154} = c \sqrt{0.7846} \approx 0.8858 c$

Вычислим абсолютное значение скорости протона:

$v \approx 0.8858 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.657 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Зная скорость протона $v$ и расстояние $S$ от Солнца до Земли, можно найти время полета $t$, предполагая, что протон движется прямолинейно и равномерно:

$t = \frac{S}{v}$

$t = \frac{1.496 \cdot 10^{11} \text{ м}}{2.657 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 563$ с

Для наглядности можно перевести это время в минуты:

$t \approx \frac{563}{60} \approx 9.38$ минут.

Ответ: Промежуток времени составит приблизительно 563 секунды (или 9.38 минут).