Номер 3, страница 217 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 46. Взаимосвязь энергии и массы. 7. Релятивистская механика. Механика - номер 3, страница 217.

Условие.

3. Почему единый закон сохранения массы-энергии представляется в классической механике в виде двух законов сохранения — массы и энергии?

Решение.

3. Почему единый закон сохранения массы-энергии представляется в классической механике в виде двух законов сохранения — массы и энергии?

Решение

В классической (ньютоновской) механике, которая описывает движение тел при скоростях, значительно меньших скорости света ($v \ll c$), масса и энергия рассматриваются как две независимые и сохраняющиеся величины. Это приводит к существованию двух отдельных законов сохранения: закона сохранения массы и закона сохранения энергии. Разделение этих законов является следствием того, что в условиях малых скоростей и энергий взаимосвязь между массой и энергией, открытая Альбертом Эйнштейном, практически не проявляется.

Согласно специальной теории относительности (СТО), полная энергия $E$ тела связана с его массой $m$ знаменитой формулой $E = mc^2$. Эта формула показывает, что масса и энергия эквивалентны и могут переходить друг в друга. Единый закон сохранения массы-энергии утверждает, что в замкнутой системе сохраняется суммарная масса-энергия.

Чтобы понять, почему в классической механике этот единый закон "распадается" на два, рассмотрим выражение для полной энергии движущегося тела в релятивистской механике: $E = \gamma m_0 c^2$, где $m_0$ — масса покоя, а $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

При малых скоростях ($v \ll c$), характерных для классической механики, фактор Лоренца можно разложить в ряд и получить приближенное выражение: $\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$.

Подставив это приближение в формулу для полной энергии, получим: $E \approx m_0 c^2 (1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}) = m_0 c^2 + \frac{1}{2}m_0 v^2$.

В этом выражении первое слагаемое, $E_0 = m_0 c^2$, — это энергия покоя. В классических задачах масса покоя $m_0$ считается постоянной, поэтому энергия покоя является очень большой, но неизменной величиной. Второе слагаемое, $E_k = \frac{1}{2}m_0 v^2$, — это в точности классическое выражение для кинетической энергии.

В классической механике имеют значение только изменения энергии. Поскольку энергия покоя $E_0$ является константой, она не влияет на динамику системы, и в законе сохранения энергии ее можно не учитывать. Таким образом, закон сохранения энергии в классической механике формулируется для суммы кинетической и потенциальной энергий.

С другой стороны, любое изменение энергии тела $\Delta E$ (например, кинетической при ускорении или внутренней при нагревании) приводит к изменению его массы на величину $\Delta m = \Delta E / c^2$. Так как квадрат скорости света $c^2$ — это колоссально большое число ($\approx 9 \cdot 10^{16} \, м^2/с^2$), то даже при значительных изменениях энергии изменение массы оказывается ничтожно малым и не поддается измерению классическими методами. Поэтому в ньютоновской механике с высокой степенью точности можно считать, что масса тел в любых процессах (кроме ядерных) остается постоянной. Это и есть закон сохранения массы.

Таким образом, единый закон сохранения массы-энергии в пределе малых скоростей, характерных для классической механики, распадается на два практически независимых и выполняющихся с высокой точностью закона: закон сохранения энергии (без учета энергии покоя) и закон сохранения массы.

Ответ:

Единый закон сохранения массы-энергии в классической механике представляется в виде двух отдельных законов (сохранения массы и сохранения энергии) потому, что классическая механика является низкоскоростным приближением теории относительности. В условиях, которые она описывает (скорости тел $v \ll c$), взаимопревращение массы и энергии пренебрежимо мало. Изменение массы, соответствующее изменению энергии в типичных механических или тепловых процессах ($\Delta m = \Delta E / c^2$), настолько незначительно из-за огромного значения множителя $c^2$, что его невозможно обнаружить. Вследствие этого масса и энергия ведут себя как две независимые, отдельно сохраняющиеся величины.