Номер 5, страница 212 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 7. Релятивистская механика. Параграф 45. Релятивистский закон сложения скоростей. Задачи - номер 5, страница 212.

Условие.

5. С космического корабля, удаляющегося от Земли со скоростью $0.8c$, стартует ракета в направлении движения корабля. Скорость ракеты относительно Земли $0.976c$. Чему равна скорость ракеты относительно корабля?

Решение.

Дано:

Скорость космического корабля относительно Земли, $V = 0.8c$

Скорость ракеты относительно Земли, $v = 0.976c$

где $c$ — скорость света в вакууме.

Найти:

Скорость ракеты относительно корабля, $v'$

Решение:

Поскольку скорости корабля и ракеты близки к скорости света, для решения задачи необходимо использовать релятивистский закон сложения скоростей. Выберем систему отсчета, связанную с Землей, как неподвижную (НСО), а систему отсчета, связанную с космическим кораблем, — как подвижную (ПСО).

В этих системах отсчета имеем:

$V = 0.8c$ — скорость ПСО (корабля) относительно НСО (Земли).

$v = 0.976c$ — скорость ракеты относительно НСО (Земли).

$v'$ — искомая скорость ракеты относительно ПСО (корабля).

Релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда все скорости направлены вдоль одной прямой, имеет вид:

$v = \frac{V + v'}{1 + \frac{Vv'}{c^2}}$

Чтобы найти скорость ракеты относительно корабля ($v'$), необходимо выразить ее из этой формулы:

$v \cdot (1 + \frac{Vv'}{c^2}) = V + v'$

$v + \frac{vVv'}{c^2} = V + v'$

$v - V = v' - \frac{vVv'}{c^2}$

$v - V = v' \cdot (1 - \frac{vV}{c^2})$

$v' = \frac{v - V}{1 - \frac{vV}{c^2}}$

Теперь подставим числовые значения в полученное выражение:

$v' = \frac{0.976c - 0.8c}{1 - \frac{0.976c \cdot 0.8c}{c^2}}$

Проведем вычисления:

$v' = \frac{0.176c}{1 - 0.976 \cdot 0.8}$

$v' = \frac{0.176c}{1 - 0.7808}$

$v' = \frac{0.176c}{0.2192}$

$v' \approx 0.8029197... c$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$v' \approx 0.803c$

Ответ: скорость ракеты относительно корабля равна $v' = \frac{v - V}{1 - vV/c^2} \approx 0.803c$.