Номер 4, страница 212 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 7. Релятивистская механика. Параграф 45. Релятивистский закон сложения скоростей. Вопросы - номер 4, страница 212.

Условие.

4. Докажите, что релятивистский закон сложения скоростей согласуется со вторым постулатом теории относительности.

Решение.

Решение

Второй постулат специальной теории относительности (принцип постоянства скорости света) гласит, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника или наблюдателя.

Релятивистский закон сложения скоростей для движений, направленных вдоль одной прямой, имеет вид:

$v = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

где $v$ — результирующая скорость тела в «неподвижной» системе отсчета K, $v_1$ — скорость тела в движущейся системе отсчета K', $v_2$ — скорость системы K' относительно системы K, и $c$ — скорость света в вакууме.

Чтобы доказать, что этот закон согласуется со вторым постулатом, необходимо показать, что если скорость одного из объектов (например, фотона) равна скорости света, то его скорость в любой другой инерциальной системе отсчета также будет равна скорости света.

Пусть в системе отсчета K' тело движется со скоростью света, то есть $v_1 = c$. Сама система K' движется относительно системы K со скоростью $v_2$. Подставим значение $v_1 = c$ в формулу релятивистского сложения скоростей, чтобы найти скорость тела $v$ в системе отсчета K:

$v = \frac{c + v_2}{1 + \frac{c \cdot v_2}{c^2}}$

Упростим выражение в знаменателе, сократив $c$ и $c^2$:

$v = \frac{c + v_2}{1 + \frac{v_2}{c}}$

Теперь приведем знаменатель к общему знаменателю $c$:

$v = \frac{c + v_2}{\frac{c + v_2}{c}}$

Разделим числитель на знаменатель, что эквивалентно умножению на перевернутую дробь:

$v = (c + v_2) \cdot \frac{c}{c + v_2}$

Так как $v_2 < c$, то выражение $(c + v_2)$ не равно нулю, и мы можем его сократить. В результате получаем:

$v = c$

Полученный результат показывает, что если скорость объекта в одной инерциальной системе отсчета равна скорости света $c$, то и в любой другой инерциальной системе отсчета, движущейся с произвольной допустимой скоростью $v_2$, его скорость также будет равна $c$. Это в точности соответствует второму постулату теории относительности, что и требовалось доказать.

Ответ: Релятивистский закон сложения скоростей согласуется со вторым постулатом теории относительности, поскольку при сложении скорости света $c$ с любой другой скоростью $v_2 < c$ результирующая скорость всегда равна скорости света $c$.