Номер 4, страница 212 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 7. Релятивистская механика. Параграф 45. Релятивистский закон сложения скоростей. Задачи - номер 4, страница 212.

Условие.

4. С какой скоростью распространяются друг относительно друга два лазерных импульса, излучаемых в вакууме в противоположных направлениях? Какой результат дает классический закон сложения скоростей?

Решение.

Дано:

Скорость первого лазерного импульса относительно неподвижного наблюдателя: $v_1 = c$

Скорость второго лазерного импульса относительно неподвижного наблюдателя: $v_2 = -c$

(где $c$ — скорость света в вакууме, знак «минус» означает, что импульсы движутся в противоположных направлениях)

Найти:

$v_{отн}$ — относительная скорость распространения импульсов согласно теории относительности.

$v_{отн.кл}$ — относительная скорость согласно классическому закону сложения скоростей.

Решение:

Эта задача рассматривает два подхода к определению относительной скорости: релятивистский (правильный для данных условий) и классический.

С какой скоростью распространяются друг относительно друга два лазерных импульса, излучаемых в вакууме в противоположных направлениях?

Для нахождения относительной скорости объектов, движущихся со скоростями, близкими к скорости света, необходимо использовать релятивистский закон сложения скоростей, который является следствием специальной теории относительности (СТО). Этот закон основан на двух постулатах, один из которых гласит, что скорость света в вакууме инвариантна, то есть не зависит от скорости движения источника или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Из этого постулата напрямую следует, что скорость одного лазерного импульса (фотона) относительно другого также будет равна $c$.

Проверим это с помощью релятивистской формулы сложения скоростей. Пусть неподвижная система отсчета будет $K$. Свяжем подвижную систему отсчета $K'$ с первым импульсом. Она движется относительно системы $K$ со скоростью $V = c$. Скорость второго импульса в системе $K$ равна $v_x = -c$.

Тогда скорость второго импульса в системе $K'$ (то есть его скорость относительно первого импульса) находится по формуле:

$v'_x = \frac{v_x - V}{1 - \frac{v_x V}{c^2}}$

Подставим наши значения:

$v'_x = \frac{-c - c}{1 - \frac{(-c) \cdot c}{c^2}} = \frac{-2c}{1 - \frac{-c^2}{c^2}} = \frac{-2c}{1 - (-1)} = \frac{-2c}{2} = -c$

Модуль относительной скорости равен $|v'_{x}| = |-c| = c$. Знак «минус» указывает на то, что второй импульс движется навстречу первому. Таким образом, скорость одного лазерного импульса относительно другого равна скорости света.

Ответ: Относительная скорость распространения двух лазерных импульсов равна скорости света $c$.

Какой результат даёт классический закон сложения скоростей?

Классический (галиллеевский) закон сложения скоростей применяется для скоростей, значительно меньших скорости света. Согласно этому закону, относительная скорость двух тел, движущихся в противоположных направлениях, равна сумме модулей их скоростей.

Пусть скорость первого импульса $v_1 = c$, а второго $v_2 = -c$. Тогда их относительная скорость $v_{отн.кл}$ вычисляется по классической формуле:

$v_{отн.кл} = v_1 - v_2 = c - (-c) = c + c = 2c$

Таким образом, классическая механика даёт результат $2c$. Этот результат является некорректным для описания движения света и противоречит фундаментальному принципу теории относительности, согласно которому скорость любого взаимодействия или объекта не может превышать скорость света в вакууме.

Ответ: Классический закон сложения скоростей даёт результат $2c$.