Номер 4, страница 217 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 7. Релятивистская механика. Параграф 46. Взаимосвязь энергии и массы. Задачи - номер 4, страница 217.

Условие.

4. Какую работу необходимо совершить для увеличения скорости электрона от $0.6c$ до $0.8c$?

Решение.

Дано:

Начальная скорость электрона, $v_1 = 0,6c$
Конечная скорость электрона, $v_2 = 0,8c$
Масса покоя электрона, $m_0 = 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг (справочное значение)
Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с (справочное значение)

Найти:

Работу, $A$ - ?

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершённая над телом, равна изменению его кинетической энергии. Поскольку скорости электрона сравнимы со скоростью света, необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии:$K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0c^2$где $E$ — полная энергия, $E_0 = m_0c^2$ — энергия покоя, а $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

Работа $A$ будет равна разности конечной и начальной кинетических энергий:$A = K_2 - K_1 = ((\gamma_2 - 1)m_0c^2) - ((\gamma_1 - 1)m_0c^2) = (\gamma_2 - \gamma_1)m_0c^2$

Сначала вычислим значения фактора Лоренца для начальной и конечной скоростей.

Для начальной скорости $v_1 = 0,6c$:$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - v_1^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,6c)^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25$

Для конечной скорости $v_2 = 0,8c$:$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - v_2^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,8c)^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,64}} = \frac{1}{\sqrt{0,36}} = \frac{1}{0,6} = \frac{5}{3}$

Теперь можем вычислить работу $A$, подставив значения $\gamma_1$ и $\gamma_2$:$A = (\gamma_2 - \gamma_1)m_0c^2 = (\frac{5}{3} - 1,25) m_0c^2 = (\frac{5}{3} - \frac{5}{4}) m_0c^2 = (\frac{20 - 15}{12}) m_0c^2 = \frac{5}{12} m_0c^2$

Подставим численные значения массы покоя электрона $m_0$ и скорости света $c$:$A = \frac{5}{12} \cdot (9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2$$A = \frac{5}{12} \cdot (9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (9 \cdot 10^{16})$ Дж$A = \frac{5 \cdot 9,11 \cdot 9}{12} \cdot 10^{-15}$ Дж $= \frac{409,95}{12} \cdot 10^{-15}$ Дж$A \approx 34,1625 \cdot 10^{-15}$ Дж

Округлив результат до трёх значащих цифр, получим:$A \approx 3,42 \cdot 10^{-14}$ Дж.

Ответ: $A \approx 3,42 \cdot 10^{-14}$ Дж.