Номер 5, страница 217 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 7. Релятивистская механика. Параграф 46. Взаимосвязь энергии и массы. Задачи - номер 5, страница 217.

Условие.

5. Дейтрон (ядро изотопа атома водорода — дейтерия) образовано из протона и нейтрона. Масса протона $m_p = 1,673 \cdot 10^{-27}$ кг, нейтрона $m_n = 1,675 \cdot 10^{-27}$ кг. Энергия покоя дейтрона 1875,6 МэВ. Какая энергия выделяется при образовании дейтрона? На сколько масса дейтрона меньше суммарной массы протона и нейтрона?

Решение.

Дано:

Масса протона $m_p = 1.673 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса нейтрона $m_n = 1.675 \cdot 10^{-27}$ кг

Энергия покоя дейтрона $E_d = 1875.6$ МэВ

Скорость света в вакууме $c \approx 2.998 \cdot 10^8$ м/с

Элементарный заряд $e = 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод единиц:

$1 \text{ МэВ} = 10^6 \text{ эВ} = 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

$E_{св}$ — энергия, которая выделяется при образовании дейтрона.

$\Delta m$ — разность между суммарной массой протона и нейтрона и массой дейтрона.

Решение:

Какая энергия выделяется при образовании дейтрона?

Энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его нуклонов (протонов и нейтронов), называется энергией связи ядра. Она равна разности суммарной энергии покоя свободных нуклонов и энергии покоя образовавшегося ядра.

Найдем суммарную энергию покоя протона и нейтрона по формуле Эйнштейна $E = mc^2$.

Сначала вычислим их суммарную массу:

$m_{p+n} = m_p + m_n = 1.673 \cdot 10^{-27} \text{ кг} + 1.675 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 3.348 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Теперь найдем их суммарную энергию покоя в джоулях:

$E_{p+n} = m_{p+n}c^2 = (3.348 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2.998 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 3.0093 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Переведем эту энергию в мегаэлектронвольты (МэВ), чтобы можно было сравнить с энергией покоя дейтрона:

$E_{p+n} (\text{МэВ}) = \frac{3.0093 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}}{1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/МэВ}} \approx 1878.5 \text{ МэВ}$

Энергия связи (выделившаяся энергия) равна разности:

$E_{св} = E_{p+n} - E_d = 1878.5 \text{ МэВ} - 1875.6 \text{ МэВ} = 2.9 \text{ МэВ}$

Ответ: При образовании дейтрона выделяется энергия, равная $2.9$ МэВ.

На сколько масса дейтрона меньше суммарной массы протона и нейтрона?

Эта разница масс называется дефектом масс. Дефект масс $\Delta m$ связан с энергией связи соотношением $\Delta m = \frac{E_{св}}{c^2}$. Можно также найти его как разность масс $\Delta m = (m_p + m_n) - m_d$, где $m_d$ — масса дейтрона.

Найдем массу дейтрона $m_d$ из его энергии покоя $E_d$. Сначала переведем $E_d$ в джоули:

$E_d (\text{Дж}) = 1875.6 \text{ МэВ} \cdot 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/МэВ} \approx 3.0047 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Теперь найдем массу дейтрона:

$m_d = \frac{E_d}{c^2} = \frac{3.0047 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}}{(2.998 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} \approx 3.343 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Суммарная масса протона и нейтрона была найдена ранее:

$m_{p+n} = 3.348 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Теперь найдем разность масс (дефект масс):

$\Delta m = m_{p+n} - m_d = 3.348 \cdot 10^{-27} \text{ кг} - 3.343 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 0.005 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 5 \cdot 10^{-30} \text{ кг}$

Ответ: Масса дейтрона меньше суммарной массы протона и нейтрона на $5 \cdot 10^{-30}$ кг.