Номер 4, страница 389 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 83. Принцип суперпозиции электростатических полей. Задачи - номер 4, страница 389.

Условие.

4. Электростатическое поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами, радиусы которых $R_1 = 2 \text{ см}$ и $R_2 = 4 \text{ см}$. Заряд сфер соответственно равен $Q_1 = 1 \text{ нКл}$ и $Q_2 = -3 \text{ нКл}$. Определите напряжённость поля в точках, лежащих от центра сфер на расстоянии: 1 см; 3 см; 5 см.

Решение.

Дано:
Радиус первой сферы, $R_1 = 2$ см
Радиус второй сферы, $R_2 = 4$ см
Заряд первой сферы, $Q_1 = 1$ нКл
Заряд второй сферы, $Q_2 = -3$ нКл
Расстояния от центра сфер: $r_a = 1$ см, $r_b = 3$ см, $r_c = 5$ см
Электрическая постоянная, $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$

Переведем все данные в систему СИ:
$R_1 = 0.02$ м
$R_2 = 0.04$ м
$Q_1 = 1 \cdot 10^{-9}$ Кл
$Q_2 = -3 \cdot 10^{-9}$ Кл
$r_a = 0.01$ м
$r_b = 0.03$ м
$r_c = 0.05$ м

Найти:
Напряжённость поля в точках $E_a$, $E_b$, $E_c$ на расстояниях $r_a, r_b, r_c$ соответственно.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Гаусса для напряжённости электрического поля, создаваемого заряженной сферой, и принципом суперпозиции полей.

Согласно теореме Гаусса, напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью с зарядом $Q$ и радиусом $R$ на расстоянии $r$ от её центра:
1. Внутри сферы ($r < R$) напряжённость поля равна нулю ($E=0$).
2. Вне сферы ($r > R$) напряжённость поля такая же, как у точечного заряда $Q$, помещённого в центр сферы: $E = k \frac{|Q|}{r^2}$.

Полная напряжённость поля в любой точке равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждой сферой в этой точке. Так как сферы концентрические, векторы напряжённости будут направлены вдоль радиуса, и векторное сложение сводится к алгебраическому сложению (с учётом знака).

Напряжённость поля в точке на расстоянии 1 см от центра:

Эта точка находится на расстоянии $r_a = 0.01$ м. Она расположена внутри обеих сфер, так как $r_a < R_1$ и $r_a < R_2$.
Напряжённость поля, создаваемого первой сферой в этой точке, $E_{1a} = 0$.
Напряжённость поля, создаваемого второй сферой в этой точке, $E_{2a} = 0$.
Следовательно, суммарная напряжённость поля по принципу суперпозиции:$E_a = E_{1a} + E_{2a} = 0 + 0 = 0$ В/м.

Ответ: $E_a = 0$ В/м.

Напряжённость поля в точке на расстоянии 3 см от центра:

Эта точка находится на расстоянии $r_b = 0.03$ м. Она расположена вне первой сферы ($r_b > R_1$), но внутри второй сферы ($r_b < R_2$).
Напряжённость поля, создаваемого первой сферой, рассчитывается как поле от точечного заряда $Q_1$:
$E_{1b} = k \frac{|Q_1|}{r_b^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|1 \cdot 10^{-9}|}{(0.03)^2} = \frac{9}{9 \cdot 10^{-4}} = 1 \cdot 10^4$ В/м.
Напряжённость поля, создаваемого второй сферой, равна нулю, так как точка находится внутри неё: $E_{2b} = 0$.
Суммарная напряжённость поля:
$E_b = E_{1b} + E_{2b} = 1 \cdot 10^4 + 0 = 1 \cdot 10^4$ В/м = 10 кВ/м.

Ответ: $E_b = 10$ кВ/м.

Напряжённость поля в точке на расстоянии 5 см от центра:

Эта точка находится на расстоянии $r_c = 0.05$ м. Она расположена вне обеих сфер ($r_c > R_1$ и $r_c > R_2$).
Поле в этой точке можно рассматривать как поле, создаваемое суммарным зарядом $Q_{сум} = Q_1 + Q_2$, сосредоточенным в центре.
$Q_{сум} = 1 \text{ нКл} + (-3 \text{ нКл}) = -2$ нКл $= -2 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Напряжённость суммарного поля:
$E_c = k \frac{|Q_{сум}|}{r_c^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|-2 \cdot 10^{-9}|}{(0.05)^2} = \frac{18}{0.0025} = \frac{18}{25 \cdot 10^{-4}} = \frac{180000}{25} = 7200$ В/м = 7.2 кВ/м.
Так как суммарный заряд отрицательный, вектор напряжённости направлен к центру сфер.

Ответ: $E_c = 7.2$ кВ/м.