Номер 4, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 83. Принцип суперпозиции электростатических полей. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 4, страница 388.

Условие.

4. Как зависит от расстояния напряжённость поля, созданного заряженной сферой? Почему внутри сферы напряжённость поля равна нулю?

Решение.

Как зависит от расстояния напряжённость поля, созданного заряженной сферой?

Зависимость напряжённости электрического поля от расстояния до центра заряженной сферы различна для точек, расположенных вне и внутри сферы. Рассматривается случай, когда заряд равномерно распределён по поверхности сферы (например, проводящая сфера).

1. Вне сферы. Для точек, находящихся на расстоянии $r$ от центра сферы, превышающем её радиус $R$ ($r > R$), напряжённость электрического поля такая же, как у точечного заряда, величина которого равна всему заряду сферы $q$, помещённого в её центр. Эта напряжённость определяется по формуле закона Кулона:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon}$

Из формулы видно, что вне сферы напряжённость поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от её центра.

2. На поверхности сферы. При $r = R$ напряжённость поля достигает максимального значения:

$E_{max} = k \frac{|q|}{R^2}$

3. Внутри сферы. Для точек, находящихся внутри сферы ($r < R$), напряжённость электрического поля равна нулю.

$E = 0$

Ответ: Вне заряженной сферы напряжённость электрического поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от её центра ($E \propto \frac{1}{r^2}$). Внутри сферы напряжённость поля равна нулю.

Почему внутри сферы напряжённость поля равна нулю?

Тот факт, что напряжённость поля внутри равномерно заряженной по поверхности сферы равна нулю, является прямым следствием теоремы Гаусса для электростатического поля.

Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора напряжённости электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, заключённому внутри этой поверхности:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{вн}}{\epsilon_0}$

Чтобы найти напряжённость поля в произвольной точке внутри заряженной сферы на расстоянии $r$ от её центра ($r < R$), мы можем мысленно построить замкнутую сферическую поверхность (называемую гауссовой поверхностью) радиусом $r$, концентрическую с заряженной сферой.

Поскольку весь заряд $q$ распределён по поверхности внешней сферы радиусом $R$, то внутри гауссовой поверхности радиусом $r < R$ зарядов нет. Таким образом, полный заряд внутри неё $Q_{вн} = 0$.

Следовательно, и поток вектора напряжённости через эту поверхность равен нулю:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$

Из-за сферической симметрии задачи вектор напряжённости $\vec{E}$ в любой точке на гауссовой поверхности должен быть направлен по радиусу, и его модуль $E$ должен быть одинаков во всех точках этой поверхности. В этом случае поток можно выразить как произведение модуля напряжённости $E$ на площадь поверхности сферы $4\pi r^2$:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot 4\pi r^2$

Приравнивая полученные выражения, имеем:

$E \cdot 4\pi r^2 = 0$

Так как площадь поверхности $4\pi r^2$ не равна нулю, единственным решением этого уравнения является $E = 0$. Это означает, что напряжённость электрического поля в любой точке внутри равномерно заряженной сферы равна нулю.

Ответ: Внутри заряженной сферы напряжённость поля равна нулю, потому что любая замкнутая поверхность, проведённая внутри сферы, не охватывает электрических зарядов. Согласно теореме Гаусса, поток вектора напряжённости через такую поверхность равен нулю, что в силу симметрии задачи означает равенство нулю и самой напряжённости поля в любой точке внутри.