Номер 4, страница 381 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Параграф 82. Линии напряжённости электростатического поля. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 4, страница 381.

Условие.

4. Почему модуль напряжённости поля пропорционален степени сгущения линий напряжённости электростатического поля?

Решение.

Модуль напряжённости электростатического поля пропорционален степени сгущения (густоте) линий напряжённости по соглашению, которое имеет глубокое физическое обоснование, вытекающее из теоремы Гаусса. Линии напряжённости — это графический способ изображения электрического поля, и их густота вводится специально для того, чтобы наглядно показывать величину поля.

Рассмотрим это подробнее. По определению, линии напряжённости электростатического поля строятся так, чтобы выполнялись два условия:
1. Касательная к линии напряжённости в любой точке пространства совпадает по направлению с вектором напряжённости $\vec{E}$ в этой точке.
2. Густота линий (количество линий, пронизывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно линиям) в каждой точке пространства пропорциональна модулю вектора напряжённости $E$ в этой же точке.

Это второе условие не является произвольным, а напрямую связано с фундаментальным свойством электрического поля, которое описывается теоремой Гаусса. Согласно этой теореме, поток вектора напряжённости $\Phi_E$ через любую замкнутую поверхность пропорционален полному электрическому заряду $Q_{вн}$, находящемуся внутри этой поверхности:
$\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$
где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

При графическом изображении поля принято считать, что число линий напряжённости $N$, исходящих от положительного заряда $q$ (или входящих в отрицательный), пропорционально величине этого заряда, $|q|$. Если выбрать коэффициент пропорциональности равным $1/\varepsilon_0$, то полное число линий, создаваемых зарядом, будет $N = \frac{|q|}{\varepsilon_0}$. Тогда из теоремы Гаусса следует, что поток напряжённости через замкнутую поверхность просто равен полному числу линий $N$, пересекающих эту поверхность.

Теперь рассмотрим небольшую элементарную площадку $\Delta S$, перпендикулярную линиям поля. Поток через неё можно записать как $\Delta \Phi_E = E \cdot \Delta S$. Число линий $\Delta N$, пересекающих эту площадку, по нашему соглашению, равно потоку: $\Delta N \approx \Delta \Phi_E$. Таким образом, мы получаем:
$\Delta N = E \cdot \Delta S$

Из этого соотношения можно выразить модуль напряжённости поля:
$E = \frac{\Delta N}{\Delta S}$

Эта формула как раз и показывает, что модуль напряжённости поля $E$ равен числу силовых линий, приходящихся на единицу площади поверхности, перпендикулярной этим линиям. То есть, $E$ пропорционален густоте линий напряжённости. Где линии сгущаются, там поле сильнее, а где они становятся реже — слабее.

Пример с точечным зарядом: Для поля точечного заряда $q$ модуль напряжённости на расстоянии $r$ определяется законом Кулона: $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}$. Общее число линий, исходящих из заряда, по соглашению равно $N = \frac{|q|}{\varepsilon_0}$. Эти линии равномерно пронизывают сферическую поверхность площадью $S = 4\pi r^2$, описанную вокруг заряда. Густота линий на этой поверхности составляет $\frac{N}{S} = \frac{|q|/\varepsilon_0}{4\pi r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}$. Сравнивая это выражение с формулой для $E$, мы видим, что густота линий в точности равна модулю напряжённости поля.

Ответ: Модуль напряжённости поля пропорционален степени сгущения линий напряжённости потому, что число линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную им, по определению и как следствие теоремы Гаусса, принимается пропорциональным потоку вектора напряжённости через эту площадку. Поток, в свою очередь, прямо пропорционален модулю напряжённости поля ($ \Delta \Phi_E = E \cdot \Delta S $), что и устанавливает искомую зависимость: $E = \frac{\Delta N}{\Delta S}$. Чем гуще линии, тем больше их число $\Delta N$ на той же площадке $\Delta S$, и, следовательно, тем больше модуль напряжённости $E$.