Номер 5, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 83. Принцип суперпозиции электростатических полей. Вопросы - номер 5, страница 388.

Условие.

5. Почему заряженная плоскость создаёт однородное поле, напряжённость которого направлена перпендикулярно плоскости? Чему равна напряжённость этого поля?

Решение.

Решение

Для ответа на этот вопрос рассмотрим идеализированную физическую модель — бесконечную плоскость, которая заряжена равномерно с постоянной поверхностной плотностью заряда $\sigma$ (заряд, приходящийся на единицу площади).

Почему напряжённость поля направлена перпендикулярно плоскости?

Направление вектора напряжённости электрического поля $\vec{E}$ в любой точке пространства определяется принципом суперпозиции, то есть векторным сложением полей, создаваемых всеми элементарными зарядами плоскости. Из-за симметрии распределения заряда для любого элементарного заряда $dq_1$ на плоскости всегда найдётся симметричный ему относительно основания перпендикуляра, опущенного из рассматриваемой точки P на плоскость, заряд $dq_2$. Векторы напряжённости $d\vec{E_1}$ и $d\vec{E_2}$, создаваемые этими зарядами в точке P, при сложении дадут результирующий вектор, направленный перпендикулярно плоскости. Их компоненты, параллельные плоскости, будут равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому они взаимно компенсируются. Компоненты, перпендикулярные плоскости, будут иметь одинаковое направление и сложатся. Поскольку вся бесконечная плоскость может быть разбита на такие пары симметричных зарядов, суммарный вектор напряжённости $\vec{E}$ в любой точке пространства будет направлен перпендикулярно плоскости.

Почему поле является однородным и чему равна его напряжённость?

Однородность поля (то есть постоянство вектора напряжённости по модулю и направлению во всех точках пространства) и значение его модуля удобно определить с помощью теоремы Гаусса. Выберем в качестве замкнутой (гауссовой) поверхности цилиндр, основания которого имеют площадь $S$ и параллельны заряженной плоскости, а боковая поверхность перпендикулярна ей.

Поток вектора напряжённости электрического поля через эту замкнутую поверхность складывается из потоков через основания и боковую поверхность.
1. Так как вектор $\vec{E}$ везде перпендикулярен заряженной плоскости, он параллелен боковой поверхности цилиндра. Следовательно, поток через боковую поверхность равен нулю.
2. Вектор $\vec{E}$ перпендикулярен основаниям цилиндра. Если заряд плоскости положителен ($\sigma > 0$), то вектор $\vec{E}$ направлен от плоскости. Тогда поток через каждое из двух оснований равен $E \cdot S$. Суммарный поток через оба основания равен $\Phi_E = E \cdot S + E \cdot S = 2ES$.

Согласно теореме Гаусса, полный поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную $\epsilon_0$ (для вакуума):

$\Phi_E = \frac{q_{вн}}{\epsilon_0}$

Заряд, находящийся внутри цилиндра, — это заряд на участке плоскости площадью $S$: $q_{вн} = \sigma S$.

Приравнивая выражения для потока, получаем:

$2ES = \frac{\sigma S}{\epsilon_0}$

Сокращая площадь $S$, находим модуль напряжённости электрического поля:

$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

Из этой формулы видно, что модуль напряжённости $E$ не зависит от расстояния до плоскости, а определяется только постоянной величиной — поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Это означает, что поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, является однородным. Направление поля, как мы выяснили, везде перпендикулярно плоскости.

Ответ: Заряженная плоскость (в модели бесконечной плоскости) создаёт однородное поле из-за симметрии распределения заряда. Напряжённость поля в любой точке направлена перпендикулярно плоскости, так как компоненты поля от симметрично расположенных зарядов, параллельные плоскости, взаимно компенсируются. Поле является однородным, потому что его напряжённость, как показывает вывод из теоремы Гаусса, не зависит от расстояния до плоскости. Напряжённость этого поля равна $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$, где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда, а $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.