Номер 1, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 83. Принцип суперпозиции электростатических полей. Задачи - номер 1, страница 388.

Условие.

1. Два одинаковых точечных положительных заряда $q = 10 \text{ мкКл}$ находятся на расстоянии $l = 12 \text{ см}$ один от другого. Найдите напряжённость поля в точке $\text{A}$, находящейся посередине расстояния между зарядами. Определите напряжённость поля, созданного зарядами, в точке $\text{B}$, лежащей на перпендикуляре, восстановленном из точки $\text{A}$, если $AB = x = 8 \text{ см}$.

Решение.

Дано:

$q_1 = q_2 = q = 10 \text{ мкКл}$

$l = 12 \text{ см}$

$AB = x = 8 \text{ см}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$q = 10 \text{ мкКл} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-5} \text{ Кл}$

$l = 12 \text{ см} = 0,12 \text{ м}$

$x = 8 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$

Найти:

$E_A - ?$

$E_B - ?$

Решение:

Найдите напряженность поля в точке А, находящейся посередине расстояния между зарядами.

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность результирующего поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E}_A = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Точка А находится посередине отрезка, соединяющего заряды $q_1$ и $q_2$. Расстояние от каждого заряда до точки А одинаково и равно $r_1 = r_2 = l/2 = 0,12 \text{ м} / 2 = 0,06 \text{ м}$.

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ одинаковы ($q_1 = q_2 = q$) и положительны, то модули векторов напряженности $E_1$ и $E_2$ в точке А равны:

$E_1 = k \frac{|q|}{r_1^2}$

$E_2 = k \frac{|q|}{r_2^2}$

Так как $r_1 = r_2$, то $E_1 = E_2$.

Вектор напряженности $\vec{E}_1$, созданный зарядом $q_1$, направлен от заряда $q_1$ (вдоль прямой, соединяющей заряды). Вектор $\vec{E}_2$, созданный зарядом $q_2$, направлен от заряда $q_2$. Таким образом, в точке А векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены в противоположные стороны.

Поскольку векторы напряженности равны по модулю и противоположны по направлению, их векторная сумма равна нулю:

$\vec{E}_A = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$

Ответ: Напряженность поля в точке А равна $0 \text{ Н/Кл}$.

Определите напряженность поля, созданного зарядами, в точке В, лежащей на перпендикуляре, восставленном из точки А, если AB = x = 8 см.

Точка B, заряды $q_1$ и $q_2$ образуют равнобедренный треугольник. Расстояние от каждого из зарядов до точки B одинаково и может быть найдено по теореме Пифагора:

$r = \sqrt{(l/2)^2 + x^2} = \sqrt{(0,06 \text{ м})^2 + (0,08 \text{ м})^2} = \sqrt{0,0036 \text{ м}^2 + 0,0064 \text{ м}^2} = \sqrt{0,01 \text{ м}^2} = 0,1 \text{ м}$

Модули напряженностей полей, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$ в точке B, равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{q}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-5}}{(0,1)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-5}}{10^{-2}} = 9 \cdot 10^6 \text{ Н/Кл}$

Результирующая напряженность $\vec{E}_B$ является векторной суммой $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. Вектор $\vec{E}_1$ направлен вдоль прямой, соединяющей $q_1$ и B, а вектор $\vec{E}_2$ — вдоль прямой, соединяющей $q_2$ и B.

При сложении векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ их горизонтальные составляющие (параллельные отрезку $q_1q_2$) взаимно компенсируются, а вертикальные (направленные вдоль перпендикуляра AB) складываются. Результирующий вектор $\vec{E}_B$ будет направлен вдоль перпендикуляра от точки A к точке B.

Модуль результирующего вектора $E_B$ равен сумме проекций векторов $E_1$ и $E_2$ на направление AB. Обозначим угол между вектором $E_1$ (или $E_2$) и направлением AB как $\alpha$.

$E_B = E_1 \cos \alpha + E_2 \cos \alpha = 2 E_1 \cos \alpha$

Из геометрии треугольника находим косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{x}{r} = \frac{0,08 \text{ м}}{0,1 \text{ м}} = 0,8$

Теперь можем вычислить модуль напряженности в точке B:

$E_B = 2 \cdot (9 \cdot 10^6 \text{ Н/Кл}) \cdot 0,8 = 14,4 \cdot 10^6 \text{ Н/Кл} = 1,44 \cdot 10^7 \text{ Н/Кл}$

Ответ: Напряженность поля в точке В равна $1,44 \cdot 10^7 \text{ Н/Кл}$ и направлена по перпендикуляру от отрезка, соединяющего заряды.