Номер 5, страница 389 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 83. Принцип суперпозиции электростатических полей. Задачи - номер 5, страница 389.

Условие.

5. Электростатическое поле создаётся двумя бесконечными параллельными плоскостями, равномерно заряженными разноимёнными зарядами с поверхностной плотностью $-\sigma$ и $+2\sigma$, расположенными на расстоянии $\text{d}$ друг от друга. Найдите напряжённость электростатического поля между плоскостями и за их пределами. Постройте график изменения напряжённости вдоль оси $\text{X}$, перпендикулярной плоскостям.

Решение.

Дано:

Две бесконечные параллельные плоскости

Поверхностная плотность заряда первой плоскости: $ \sigma_1 = -\sigma $

Поверхностная плотность заряда второй плоскости: $ \sigma_2 = +2\sigma $

Расстояние между плоскостями: $ d $

Диэлектрическая проницаемость среды: $ \epsilon_0 $ (вакуум)

Найти:

Напряженность электростатического поля между плоскостями $ \vec{E}_{II} $

Напряженность электростатического поля за их пределами $ \vec{E}_{I}, \vec{E}_{III} $

Построить график изменения напряженности $ E_x $ вдоль оси $ X $

Решение:

Для решения задачи используем принцип суперпозиции полей. Результирующее поле в любой точке пространства равно векторной сумме полей, создаваемых каждой плоскостью в отдельности: $ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 $.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до плоскости и определяется по формуле: $ E = \frac{|\sigma|}{2\epsilon_0} $, где $ \sigma $ – поверхностная плотность заряда, а $ \epsilon_0 $ – электрическая постоянная.

Направление вектора напряженности $ \vec{E} $ перпендикулярно плоскости: от плоскости, если она заряжена положительно, и к плоскости, если она заряжена отрицательно.

Введем систему координат. Направим ось $ X $ перпендикулярно плоскостям. Поместим первую плоскость с зарядом $ \sigma_1 = -\sigma $ в точку $ x=0 $, а вторую плоскость с зарядом $ \sigma_2 = +2\sigma $ в точку $ x=d $. Положительное направление оси $ X $ выберем от первой плоскости ко второй.

Найдем напряженности полей, создаваемых каждой плоскостью:
$ E_1 = \frac{|\sigma_1|}{2\epsilon_0} = \frac{|-\sigma|}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $. Вектор $ \vec{E}_1 $ всегда направлен к первой плоскости (к $ x=0 $).
$ E_2 = \frac{|\sigma_2|}{2\epsilon_0} = \frac{|+2\sigma|}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} $. Вектор $ \vec{E}_2 $ всегда направлен от второй плоскости (от $ x=d $).

Рассмотрим три области пространства.

1. Напряженность поля за пределами плоскостей (слева, область I: $ x < 0 $)

В этой области вектор $ \vec{E}_1 $ направлен вправо (вдоль оси $ X $), а вектор $ \vec{E}_2 $ направлен влево (против оси $ X $).
Проекция результирующего вектора напряженности на ось $ X $:
$ E_{Ix} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{\epsilon_0} = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} $.
Модуль напряженности: $ E_I = |E_{Ix}| = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $. Вектор $ \vec{E}_I $ направлен влево.

2. Напряженность поля между плоскостями (область II: $ 0 < x < d $)

В этой области вектор $ \vec{E}_1 $ направлен влево (против оси $ X $), и вектор $ \vec{E}_2 $ также направлен влево (против оси $ X $).
Проекция результирующего вектора напряженности на ось $ X $:
$ E_{IIx} = -E_1 - E_2 = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{\epsilon_0} = -\frac{3\sigma}{2\epsilon_0} $.
Модуль напряженности: $ E_{II} = |E_{IIx}| = \frac{3\sigma}{2\epsilon_0} $. Вектор $ \vec{E}_{II} $ направлен влево.

3. Напряженность поля за пределами плоскостей (справа, область III: $ x > d $)

В этой области вектор $ \vec{E}_1 $ направлен влево (против оси $ X $), а вектор $ \vec{E}_2 $ направлен вправо (вдоль оси $ X $).
Проекция результирующего вектора напряженности на ось $ X $:
$ E_{IIIx} = -E_1 + E_2 = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $.
Модуль напряженности: $ E_{III} = |E_{IIIx}| = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $. Вектор $ \vec{E}_{III} $ направлен вправо.

4. Построение графика зависимости $ E_x(x) $

График представляет собой ступенчатую функцию.
- При $ x < 0 $, $ E_x = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} $ (постоянное отрицательное значение).
- При $ 0 < x < d $, $ E_x = -\frac{3\sigma}{2\epsilon_0} $ (постоянное отрицательное значение, большее по модулю).
- При $ x > d $, $ E_x = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $ (постоянное положительное значение).
На границах областей ($ x=0 $ и $ x=d $) напряженность испытывает скачок.

Ответ:

Модуль напряженности электростатического поля между плоскостями равен $ E_{II} = \frac{3\sigma}{2\epsilon_0} $. Вектор напряженности направлен от положительно заряженной плоскости ($ +2\sigma $) к отрицательно заряженной ($ -\sigma $).
Модуль напряженности за пределами плоскостей одинаков с обеих сторон и равен $ E_I = E_{III} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $.
График зависимости проекции напряженности $ E_x $ от координаты $ x $ представлен в решении.