Номер 5, страница 379 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 81. Напряжённость электростатического поля. Задачи - номер 5, страница 379.

Условие.

5. Точечный заряд, помещённый в начале координат, создаёт напряжённость поля в точках 1 и 2, находящихся на положительной полуоси оси $OX$, равную соответственно $E_1 = 3,6 \cdot 10^{-5}$ Н/Кл и $E_2 = 1,6 \cdot 10^{-5}$ Н/Кл. Определите напряжённость поля в точке $\text{C}$, лежащей посередине между точками 1 и 2.

Решение.

Дано:

Напряженность электрического поля в точке 1, $E_1 = 3,6 \cdot 10^{-5}$ Н/Кл

Напряженность электрического поля в точке 2, $E_2 = 1,6 \cdot 10^{-5}$ Н/Кл

Точка C находится посередине между точками 1 и 2.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Напряженность электрического поля в точке C, $E_C$

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется формулой:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

где $k$ – коэффициент пропорциональности.

Пусть точечный заряд находится в начале координат ($r=0$), а точки 1 и 2 находятся на положительной полуоси ОХ на расстояниях $r_1$ и $r_2$ соответственно. Тогда напряженности полей в этих точках равны:

$E_1 = k \frac{|q|}{r_1^2}$

$E_2 = k \frac{|q|}{r_2^2}$

Из этих формул можно выразить расстояния $r_1$ и $r_2$:

$r_1 = \sqrt{k \frac{|q|}{E_1}} = \sqrt{k|q|} \frac{1}{\sqrt{E_1}}$

$r_2 = \sqrt{k \frac{|q|}{E_2}} = \sqrt{k|q|} \frac{1}{\sqrt{E_2}}$

По условию, точка C лежит посередине между точками 1 и 2. Это означает, что её координата (расстояние от заряда) $r_C$ является средним арифметическим координат $r_1$ и $r_2$:

$r_C = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставим выражения для $r_1$ и $r_2$:

$r_C = \frac{\sqrt{k|q|} \frac{1}{\sqrt{E_1}} + \sqrt{k|q|} \frac{1}{\sqrt{E_2}}}{2} = \frac{\sqrt{k|q|}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{E_1}} + \frac{1}{\sqrt{E_2}} \right)$

Напряженность поля в точке C, $E_C$, вычисляется по формуле:

$E_C = k \frac{|q|}{r_C^2}$

Подставим в неё полученное выражение для $r_C$:

$E_C = k \frac{|q|}{\left[ \frac{\sqrt{k|q|}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{E_1}} + \frac{1}{\sqrt{E_2}} \right) \right]^2} = k \frac{|q|}{\frac{k|q|}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{E_1}} + \frac{1}{\sqrt{E_2}} \right)^2}$

После сокращения $k|q|$ получаем формулу для $E_C$, выраженную через $E_1$ и $E_2$:

$E_C = \frac{4}{\left( \frac{1}{\sqrt{E_1}} + \frac{1}{\sqrt{E_2}} \right)^2} = \frac{4}{\left( \frac{\sqrt{E_2} + \sqrt{E_1}}{\sqrt{E_1 E_2}} \right)^2} = \frac{4 E_1 E_2}{(\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2}$

Теперь подставим числовые значения. Для удобства вычислений найдем сначала значения $\sqrt{E_1}$ и $\sqrt{E_2}$:

$\sqrt{E_1} = \sqrt{3,6 \cdot 10^{-5}} = \sqrt{36 \cdot 10^{-6}} = 6 \cdot 10^{-3}$ (Н/Кл)$^{1/2}$

$\sqrt{E_2} = \sqrt{1,6 \cdot 10^{-5}} = \sqrt{16 \cdot 10^{-6}} = 4 \cdot 10^{-3}$ (Н/Кл)$^{1/2}$

Их сумма равна:

$\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2} = 6 \cdot 10^{-3} + 4 \cdot 10^{-3} = 10 \cdot 10^{-3} = 10^{-2}$ (Н/Кл)$^{1/2}$

Подставим все значения в итоговую формулу для $E_C$:

$E_C = \frac{4 \cdot (3,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-5})}{(10^{-2})^2} = \frac{4 \cdot 5,76 \cdot 10^{-10}}{10^{-4}} = 23,04 \cdot 10^{-6} = 2,304 \cdot 10^{-5}$ Н/Кл.

Ответ: $E_C = 2,304 \cdot 10^{-5}$ Н/Кл.