Номер 1, страница 447 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

4. Движение тела по окружности под действием сил тяжести и упругости. Лабораторные работы - номер 1, страница 447.

Условие.

Лабораторная работа №4. Движение тела по окружности под действием сил тяжести и упругости

🟦 Цель работы: исследовать движение конического маятника; убедиться в том, что период движения конического маятника по заданной окружности не зависит от его массы; доказать, что это свойство маятника — следствие второго закона Ньютона.

🟦 Оборудование, средства измерения: 1) груз, 2) нить, 3) штатив с муфтой и кольцом, 4) лист бумаги, 5) измерительная лента, 6) часы с секундной стрелкой, 7) динамометр.

🟦 Теоретическое обоснование

Экспериментальная установка состоит из груза, привязанного на нити к кольцу штатива (рис. 352). На столе под маятником располагают лист бумаги, на котором нарисована окружность радиусом 10 см. Центр O окружности находится на вертикали, проходящей под точкой подвеса K маятника. При движении груза по окружности, изображённой на листе, нить описывает коническую поверхность. Поэтому такой маятник называют коническим.

1. Центростремительное ускорение $a_n$ маятника, направленное к точке О, создаётся одновременным действием на него силы тяжести $m\vec{g}$ и силы натяжения нити $\vec{F_H}$. Второй закон Ньютона для движения груза массой $\text{m}$ в векторной форме имеет вид

$\vec{m a_n} = m \vec{g} + \vec{F_H}$. (1)

Спроецируем уравнение (1) на координатные оси X и Y.

(X) $m a_n = F_H \sin \alpha$, (2)

(Y) $0 = m g - F_H \cos \alpha$. (3)

где $\alpha$ — угол, образуемый нитью с вертикалью. Выразим $F_H$ из последнего уравнения

$F_H = \frac{m g}{\cos \alpha}$

Подставив $F_H$ из последнего уравнения в уравнение (2). Тогда

$a_n = g \operatorname{tg} \alpha$. (4)

▲ 352

Если период обращения $\text{T}$ маятника по окружности радиусом $\text{R}$ известен из опытных данных, то

$a_n = \frac{4 \pi^2}{T^2} R$. (5)

Период обращения можно определить, измерив время $\text{t}$, за которое маятник совершает $\text{N}$ оборотов:

$T = \frac{t}{N}$. (6)

Как видно из рисунка 352,

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{R}{h}$, (7)

где $h = OK$ — расстояние от точки подвеса K до центра окружности O.

С учётом формул (5)—(7) равенство (4) можно представить в виде

$\frac{4 \pi^2 N^2}{t^2} R = g \frac{R}{h}$. (8)

Формула (8) — прямое следствие второго закона Ньютона. Таким образом, первый способ проверки справедливости второго закона Ньютона сводится к экспериментальной проверке тождественности левой и правой частей равенства (8).

2. Второй способ основан на непосредственном измерении равнодействующей $\vec{F}$ силы тяжести $m\vec{g}$ и силы натяжения нити $\vec{F_H}$:

$\vec{F} = m\vec{g} + \vec{F_H}$.

Сила $\vec{F}$ сообщает маятнику центростремительное ускорение

$a_n = \frac{F}{m}$.

С учётом формул (5) и (6) второй закон Ньютона имеет вид

$\frac{4 \pi^2 N^2}{t^2} R = \frac{F}{m}$. (9)

Сила $\text{F}$ измеряется с помощью динамометра. Маятник оттягивают от положения равновесия на расстояние, равное радиусу окружности $\text{R}$, и снимают показания динамометра (рис. 353). Масса груза $\text{m}$ предполагается известной.

Следовательно, ещё один способ проверки справедливости второго закона Ньютона сводится к экспериментальной проверке тождественности левой и правой частей равенства (9).

🟦 Порядок выполнения работы

1. Соберите экспериментальную установку (см. рис. 352), выбирая длину маятника около 50 см.

Решение.

В тексте описаны теоретические основы и два способа экспериментальной проверки второго закона Ньютона на примере движения конического маятника.

1. Первый способ проверки справедливости второго закона Ньютона

Решение
Этот способ основан на выводе следствия из второго закона Ньютона, которое затем проверяется экспериментально. Рассмотрим движение груза массой $m$ по окружности радиуса $R$. На груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{F_H}$. Равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение $\vec{a_n}$, направленное к центру окружности.
Второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a_n} = m\vec{g} + \vec{F_H}$.
Спроецируем это уравнение на оси координат: горизонтальную X (направленную к центру окружности) и вертикальную Y.
Ось X: $ma_n = F_H \sin\alpha$
Ось Y: $0 = F_H \cos\alpha - mg$
где $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.
Из уравнения для оси Y выразим силу натяжения нити: $F_H = \frac{mg}{\cos\alpha}$.
Подставим это выражение в уравнение для оси X: $ma_n = \frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha$.
Отсюда получаем выражение для центростремительного ускорения: $a_n = g \cdot \text{tg}\,\alpha$.
С другой стороны, центростремительное ускорение связано с периодом обращения $T$ и радиусом окружности $R$ формулой: $a_n = \frac{4\pi^2}{T^2}R$.
Период обращения можно определить экспериментально, измерив время $t$, за которое маятник совершает $N$ оборотов: $T = \frac{t}{N}$.
Из геометрии установки (см. рис. 352) следует, что $\text{tg}\,\alpha = \frac{R}{h}$, где $h$ — расстояние от точки подвеса до плоскости вращения.
Приравнивая два выражения для $a_n$ и подставляя формулы для $T$ и $\text{tg}\,\alpha$, получаем:
$\frac{4\pi^2}{T^2}R = g \cdot \text{tg}\,\alpha \implies \frac{4\pi^2}{(t/N)^2}R = g \frac{R}{h}$
После преобразования получаем итоговую формулу (8):
$\frac{4\pi^2 N^2}{t^2}R = g \frac{R}{h}$
Первый способ проверки заключается в том, чтобы экспериментально измерить число оборотов $N$, время $t$, радиус $R$ и высоту $h$, а затем проверить, выполняется ли полученное равенство.

Ответ: Проверка справедливости второго закона Ньютона сводится к экспериментальному подтверждению тождества $\frac{4\pi^2 N^2}{t^2}R = g \frac{R}{h}$.

2. Второй способ проверки справедливости второго закона Ньютона

Решение
Этот способ основан на непосредственном измерении равнодействующей силы и сравнении ее с произведением массы на центростремительное ускорение, вычисленное по кинематическим параметрам.
Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила $\vec{F}$ равна $m\vec{a_n}$.
Равнодействующая сила $\vec{F}$ является векторной суммой силы тяжести и силы натяжения нити: $\vec{F} = m\vec{g} + \vec{F_H}$. Вектор $\vec{F}$ направлен горизонтально к центру окружности, и именно он сообщает телу центростремительное ускорение.
Величину этой равнодействующей силы можно измерить с помощью динамометра. Для этого маятник оттягивают в сторону на расстояние, равное радиусу окружности $R$, и измеряют силу $F$, необходимую для удержания его в этом положении (как показано на рис. 353).
Центростремительное ускорение $a_n$ можно рассчитать, зная кинематические характеристики движения: $a_n = \frac{4\pi^2}{T^2}R$.
Подставив сюда выражение для периода $T = t/N$, получим: $a_n = \frac{4\pi^2 N^2}{t^2}R$.
Тогда второй закон Ньютона $F = ma_n$ можно записать в виде:
$F = m \frac{4\pi^2 N^2}{t^2}R$
В учебнике это равенство представлено в виде формулы (9):
$\frac{F}{m} = \frac{4\pi^2 N^2}{t^2}R$
Второй способ проверки заключается в том, чтобы измерить силу $F$ динамометром, массу груза $m$, радиус $R$, число оборотов $N$ за время $t$, и проверить, выполняется ли полученное равенство.

Ответ: Проверка справедливости второго закона Ньютона сводится к экспериментальному подтверждению тождества $\frac{F}{m} = \frac{4\pi^2 N^2}{t^2}R$.