Номер 11, страница 445 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

3. Измерение коэффициента трения скольжения. Лабораторные работы - номер 11, страница 445.

Условие.

11. Рассчитайте относительную погрешность косвенного измерения коэффициента трения скольжения по формуле

$\varepsilon = \frac{\Delta\mu}{\mu} = \frac{\Delta h}{h} + \frac{l\Delta l + h\Delta h}{l^2 - h^2}$

Решение.

Решение

Задача состоит в том, чтобы вывести формулу для относительной погрешности косвенного измерения коэффициента трения скольжения, приведенную в условии. Для этого необходимо сначала получить физическую формулу для коэффициента трения $\mu$, а затем применить к ней правила расчета погрешностей.

1. Вывод физической формулы для коэффициента трения $\mu$.

Рассмотрим тело, скользящее с постоянной скоростью по наклонной плоскости. Коэффициент трения скольжения $\mu$ в этом случае равен тангенсу угла наклона плоскости $\alpha$ к горизонту:

$\mu = \tan(\alpha)$

Угол $\alpha$ можно выразить через измеряемые на опыте величины: высоту наклонной плоскости $h$ и ее длину (гипотенузу) $l$. Из геометрии прямоугольного треугольника имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$

$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}$

Подставив эти выражения в формулу для тангенса, получим зависимость коэффициента трения от $h$ и $l$:

$\mu = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{h/l}{\sqrt{l^2 - h^2}/l} = \frac{h}{\sqrt{l^2 - h^2}}$

2. Вывод формулы для относительной погрешности $\varepsilon = \frac{\Delta\mu}{\mu}$.

Для нахождения погрешности воспользуемся правилами распространения погрешностей для косвенных измерений.

Исходная функция имеет вид частного $μ = \frac{A}{B}$, где $A = h$ и $B = \sqrt{l^2 - h^2}$. Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей числителя и знаменателя:

$\varepsilon = \frac{\Delta\mu}{\mu} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} = \frac{\Delta h}{h} + \frac{\Delta(\sqrt{l^2 - h^2})}{\sqrt{l^2 - h^2}}$

Теперь найдем относительную погрешность знаменателя. Обозначим $B = \sqrt{u} = u^{1/2}$, где $u = l^2 - h^2$.

Для степенной функции относительная погрешность $\frac{\Delta B}{B}$ равна произведению показателя степени на относительную погрешность основания $\frac{\Delta u}{u}$:

$\frac{\Delta B}{B} = \frac{1}{2} \frac{\Delta u}{u} = \frac{1}{2} \frac{\Delta(l^2 - h^2)}{l^2 - h^2}$

Далее, найдем абсолютную погрешность разности $u = l^2 - h^2$. Она равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:

$\Delta u = \Delta(l^2) + \Delta(h^2)$

Абсолютная погрешность для функции $z = x^n$ находится по формуле $\Delta z \approx |n x^{n-1}| \Delta x$. Применяя это правило, получаем:

$\Delta(l^2) = 2l \Delta l$

$\Delta(h^2) = 2h \Delta h$

Следовательно, абсолютная погрешность $\Delta u$ равна:

$\Delta u = 2l \Delta l + 2h \Delta h = 2(l \Delta l + h \Delta h)$

Подставим это выражение для $\Delta u$ в формулу для относительной погрешности знаменателя:

$\frac{\Delta B}{B} = \frac{1}{2} \frac{2(l \Delta l + h \Delta h)}{l^2 - h^2} = \frac{l \Delta l + h \Delta h}{l^2 - h^2}$

Наконец, подставляем полученное выражение для относительной погрешности знаменателя $\frac{\Delta B}{B}$ в общую формулу для $\varepsilon$:

$\varepsilon = \frac{\Delta\mu}{\mu} = \frac{\Delta h}{h} + \frac{l \Delta l + h \Delta h}{l^2 - h^2}$

Полученная формула полностью совпадает с формулой, приведенной в условии задачи.

Ответ: Расчет относительной погрешности косвенного измерения коэффициента трения скольжения, основанный на физической формуле $μ = \frac{h}{\sqrt{l^2 - h^2}}$ и правилах распространения погрешностей, приводит к итоговой формуле $\varepsilon = \frac{\Delta\mu}{\mu} = \frac{\Delta h}{h} + \frac{l\Delta l + h\Delta h}{l^2 - h^2}$.