Номер 2, страница 448 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

4. Движение тела по окружности под действием сил тяжести и упругости. Лабораторные работы - номер 2, страница 448.

Условие.

2. На листе бумаги начертите окружность радиусом $R = 10 \text{ см.}$ (Погрешность измерения $\Delta R = 0,2 \text{ см.})$

Решение.

Дано

$R = 10$ см

$\Delta R = 0,2$ см

Перевод в систему СИ

$R = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

$\Delta R = 0,2 \text{ см} = 0,002 \text{ м}$

Найти:

$L \pm \Delta L$ - длина окружности и ее абсолютная погрешность

$S \pm \Delta S$ - площадь круга и ее абсолютная погрешность

$\epsilon_L$ - относительная погрешность длины окружности

$\epsilon_S$ - относительная погрешность площади круга

Решение

Исходное задание является практической инструкцией: необходимо начертить окружность. Наличие в условии погрешности измерения радиуса ($\Delta R$) позволяет предположить, что требуется провести расчет производных величин (длины окружности и площади круга) и определить погрешности этих косвенных измерений.

Для выполнения практической части задания необходимо с помощью циркуля и линейки начертить на листе бумаги окружность с радиусом $10$ см. Указанная погрешность означает, что реальный радиус будет находиться в интервале от $10 - 0,2 = 9,8$ см до $10 + 0,2 = 10,2$ см.

Выполним расчет характеристик окружности и их погрешностей в системе СИ.

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2 \pi R$. Подставив значение радиуса $R = 0,1$ м, получим $L = 2 \pi \cdot 0,1 \text{ м} \approx 0,6283 \text{ м}$. Абсолютная погрешность длины окружности $\Delta L$ находится через производную: $\Delta L = | \frac{dL}{dR} | \Delta R = 2\pi \Delta R$. Подставив $\Delta R = 0,002$ м, получим $\Delta L = 2 \pi \cdot 0,002 \text{ м} \approx 0,01256 \text{ м}$. Согласно правилам, значение погрешности округляется до одной значащей цифры, т.е. $\Delta L \approx 0,01$ м. Значение самой величины $L$ округляется до того же десятичного разряда, что и погрешность, т.е. $L \approx 0,63$ м. Таким образом, результат измерения длины окружности: $L = (0,63 \pm 0,01)$ м. Относительная погрешность $\epsilon_L = \frac{\Delta R}{R} = \frac{0,002}{0,1} = 0,02$ или $2\%$.

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставив $R = 0,1$ м, получим $S = \pi \cdot (0,1 \text{ м})^2 \approx 0,031416 \text{ м}^2$. Абсолютная погрешность площади $\Delta S$ равна $\Delta S = | \frac{dS}{dR} | \Delta R = 2\pi R \Delta R$. Подставив значения, получим $\Delta S = 2 \pi \cdot 0,1 \text{ м} \cdot 0,002 \text{ м} \approx 0,001256 \text{ м}^2$. Округляя погрешность до одной значащей цифры ($\Delta S \approx 0,001 \text{ м}^2$) и значение площади до того же разряда ($S \approx 0,031 \text{ м}^2$), получаем результат $S = (0,031 \pm 0,001) \text{ м}^2$. Относительная погрешность $\epsilon_S = 2 \frac{\Delta R}{R} = 2 \cdot 0,02 = 0,04$ или $4\%$.

Ответ:

Задача является практическим указанием. Расчет производных величин с учетом погрешности дает следующие результаты:

Длина окружности: $L = (0,63 \pm 0,01)$ м, относительная погрешность $\epsilon_L = 2\%$.

Площадь круга: $S = (0,031 \pm 0,001) \text{ м}^2$, относительная погрешность $\epsilon_S = 4\%$.