Номер 7, страница 452 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Лабораторные работы. 5. Проверка закона сохранения энергии при действии сил тяжести и упругости - номер 7, страница 452.

Условие.

7. Вычислите относительную погрешность измерения максимальной скорости груза.

$\varepsilon = \frac{\Delta v_{\max}}{v_{\max}} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta x_0}{2x_0}$

Решение.

Данная задача требует вывести формулу для относительной погрешности измерения максимальной скорости груза, представленную в условии. Решение основано на физических законах, описывающих колебания груза на пружине, и правилах вычисления погрешностей косвенных измерений.

Решение

Рассмотрим движение груза массой $m$ на пружине жесткостью $k$. Максимальная скорость $v_{\text{max}}$ достигается при прохождении положения равновесия. Согласно закону сохранения энергии, максимальная кинетическая энергия в положении равновесия равна максимальной потенциальной энергии в точке максимального отклонения (амплитуды $A$):

$E = K_{\text{max}} = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = U_{\text{max}} = \frac{1}{2}kA^2$

Из этого равенства выражаем максимальную скорость:

$v_{\text{max}}^2 = \frac{k}{m}A^2$

$v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Жесткость пружины $k$ может быть определена из статического опыта. Когда груз массой $m$ подвешен на пружине, он вызывает ее растяжение на величину $x_0$. В положении равновесия сила упругости $F_{\text{упр}} = kx_0$ уравновешивает силу тяжести $F_{\text{т}} = mg$:

$kx_0 = mg$

Отсюда можно найти отношение $\frac{k}{m}$:

$\frac{k}{m} = \frac{g}{x_0}$

Подставим это выражение в формулу для максимальной скорости:

$v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{g}{x_0}}$

Теперь найдем относительную погрешность $\varepsilon = \frac{\Delta v_{\text{max}}}{v_{\text{max}}}$. Величина $v_{\text{max}}$ является функцией измеряемых переменных $A$ и $x_0$ (ускорение свободного падения $g$ считаем константой с пренебрежимо малой погрешностью). Для функции вида $y = c \cdot a^n \cdot b^m$ относительная погрешность вычисляется как сумма относительных погрешностей переменных, умноженных на модуль их степени: $\frac{\Delta y}{y} = |n|\frac{\Delta a}{a} + |m|\frac{\Delta b}{b}$.

Представим нашу формулу в степенном виде:

$v_{\text{max}} = \sqrt{g} \cdot A^1 \cdot x_0^{-1/2}$

Применяя правило вычисления погрешностей, получаем:

$\varepsilon = \frac{\Delta v_{\text{max}}}{v_{\text{max}}} = |1| \cdot \frac{\Delta A}{A} + |-1/2| \cdot \frac{\Delta x_0}{x_0}$

$\varepsilon = \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta x_0}{x_0} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta x_0}{2x_0}$

Полученное выражение полностью совпадает с формулой, приведенной в условии задачи. Для расчета численного значения погрешности необходимо знать значения $A$, $\Delta A$, $x_0$ и $\Delta x_0$ из эксперимента.

Ответ: Формула для относительной погрешности измерения максимальной скорости груза $\varepsilon = \frac{\Delta v_{\text{max}}}{v_{\text{max}}} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta x_0}{2x_0}$ является следствием зависимости максимальной скорости от амплитуды и статического удлинения пружины ($v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{g}{x_0}}$) и выводится с помощью стандартных правил расчета погрешностей косвенных измерений.