Номер 1, страница 452 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

5. Проверка закона сохранения энергии при действии сил тяжести и упругости. Лабораторные работы - номер 1, страница 452.

Условие.

Лабораторная работа №5 Проверка закона сохранения энергии при действии сил тяжести и упругости

🟦 Цель работы: измерить максимальную скорость тела, колеблющегося на пружине, с использованием закона сохранения энергии.

🟦 Оборудование, средства измерения: 1) динамометр, 2) штатив лабораторный, 3) груз массой 100 г — 2 шт., 4) линейка измерительная, 5) кусочек мягкой ткани или войлока.

🟦 Теоретическое обоснование

Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 354. Динамометр укреплён вертикально в лапке штатива. На штатив помещают кусочек мягкой ткани или войлока. При подвешивании к динамометру грузов растяжение пружины динамометра определяется положением указателя. При этом максимальное удлинение (или статическое смещение) пружины $x_0$ возникает тогда, когда сила упругости пружины с жёсткостью $\text{k}$ уравновешивает силу тяжести груза массой $\text{m}$:

$kx_0 = mg$ (1)

где $g = 9,81 \frac{м}{с^2}$ — ускорение свободного падения.

Следовательно,

$x_0 = \frac{mg}{k}$ (2)

Статическое смещение характеризует новое положение равновесия $O'$ нижнего конца пружины (рис. 355).

Если груз оттянуть вниз на расстояние $\text{A}$ от точки $O'$ и отпустить в точке 1, то возникают периодические колебания груза. В точках 1 и 2, называемых точками поворота, груз останавливается, изменяя направление движения на противоположное. Поэтому в этих точках скорость груза $v = 0$.

Максимальной скоростью $v_{max}$ груз будет обладать в средней точке $O'$. На колеблющийся груз действуют две силы: постоянная сила тяжести $mg$ и переменная сила упругости $kx$. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле в произвольной точке с координатой $\text{x}$ равна $mgx$. Потенциальная энергия деформированного тела соответственно равна $\frac{kx^2}{2}$.

При этом за нуль отсчёта потенциальной энергии для обеих сил принята точка $x = 0$, соответствующая положению указателя для нерастянутой пружины.

Полная механическая энергия груза в произвольной точке складывается из его потенциальной и кинетической энергии. Пренебрегая силами трения, воспользуемся законом сохранения полной механической энергии.

Приравняем полную механическую энергию груза в точке 2 с координатой $-(x_0 - A)$ и в точке $O'$ с координатой $-x_0$:

$mg[-(x_0 - A)] + \frac{k[-(x_0 - A)]^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} = mg(-x_0) + \frac{k(-x_0)^2}{2} + \frac{mv_{max}^2}{2}$ (3)

Раскрывая скобки и проводя несложные преобразования, приведём формулу (3) к виду

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$ (4)

Тогда модуль максимальной скорости грузов

$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$ (5)

Жёсткость пружины можно найти, измерив статическое смещение $x_0$. Как следует из формулы (1),

$k = \frac{mg}{x_0}$ (6)

Соответственно

$v_{max} = A \sqrt{\frac{g}{x_0}}$ (7)

🟦 Порядок выполнения работы

1. Соберите экспериментальную установку (см. рис. 354).

Решение.

В данной лабораторной работе проверяется закон сохранения механической энергии на примере колебаний груза на пружине. Цель — рассчитать максимальную скорость груза, используя измеренные параметры системы (массу груза, жёсткость пружины, амплитуду колебаний).

Теоретическое обоснование основано на том, что полная механическая энергия системы «груз-пружина-Земля» сохраняется, если пренебречь силами трения. Полная механическая энергия $E$ складывается из кинетической энергии груза $K$, потенциальной энергии упругой деформации пружины $U_{\text{упр}}$ и потенциальной энергии груза в поле тяжести Земли $U_{\text{тяж}}$:

$E = K + U_{\text{упр}} + U_{\text{тяж}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} + mgx$

(В данной формуле начало отсчёта оси $X$ совмещено с точкой крепления пружины, а ось направлена вниз).

При колебаниях груза происходит взаимное превращение этих видов энергии. В точке максимального отклонения от положения равновесия (амплитудной точке) скорость груза равна нулю, и вся энергия является потенциальной. В положении равновесия скорость максимальна, а кинетическая энергия достигает своего пика. Приравнивая полную энергию в этих двух точках, можно вывести расчётную формулу для максимальной скорости.

Как показано в теоретическом обосновании на изображении, итоговая формула для расчёта максимальной скорости, полученная из закона сохранения энергии, имеет вид:

$v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{g}{x_0}}$

где $A$ — амплитуда колебаний, $x_0$ — статическое смещение пружины под действием груза, $g$ — ускорение свободного падения.

Ниже представлен порядок выполнения работы с примером вычислений.

1. Соберите экспериментальную установку (см. рис. 354).

Закрепите динамометр (пружину) в лапке штатива. Рядом с пружиной вертикально установите измерительную линейку так, чтобы её нулевое деление находилось на уровне верхнего крепления пружины или в другой удобной для отсчёта точке. Под установкой разместите кусочек мягкой ткани или войлока для предотвращения повреждения грузов в случае падения.

Ответ: Экспериментальная установка собрана согласно рисунку и готова для проведения измерений.

2. Определите статическое смещение пружины $x_0$.

Сначала измерьте по линейке начальное положение $y_1$ нижнего конца ненагруженной пружины. Затем подвесьте к пружине груз известной массы $m$ (например, два груза по 100 г, итого 200 г). Дождитесь, пока система придёт в равновесие. Измерьте новое положение $y_2$ нижнего конца пружины. Статическое смещение $x_0$ равно разности этих положений: $x_0 = y_2 - y_1$.

Проведём пример расчёта для этого и последующих пунктов.

Дано

Масса груза: $m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Измеренное статическое смещение: $x_0 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Заданная амплитуда колебаний: $A = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.81 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$v_{\text{max}}$ - максимальная скорость груза.

Решение:

Для выполнения задания не требуется находить жёсткость пружины $k$, так как итоговая формула (7) из теоретического обоснования позволяет вычислить максимальную скорость напрямую через измеренные величины $A$ и $x_0$.

Формула для расчёта максимальной скорости:

$v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{g}{x_0}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v_{\text{max}} = 0.03 \cdot \sqrt{\frac{9.81}{0.04}} = 0.03 \cdot \sqrt{245.25} \approx 0.03 \cdot 15.66 \approx 0.47 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: По результатам измерений статическое смещение составило $x_0 = 0.04$ м.

3. Приведите груз в колебательное движение и измерьте амплитуду $A$.

Находящийся в положении равновесия груз аккуратно оттяните вниз на некоторое расстояние и отпустите. Это расстояние от положения равновесия до точки, из которой вы отпускаете груз, и будет амплитудой колебаний $A$. Удобнее задать амплитуду заранее, например, оттянуть груз на 2 или 3 см от положения равновесия и отпустить без начальной скорости.

Ответ: Груз приведён в колебательное движение с амплитудой $A = 0.03$ м.

4. Рассчитайте максимальную скорость груза $v_{\text{max}}$.

Используя измеренные значения статического смещения $x_0$ и амплитуды $A$, рассчитайте максимальную скорость по формуле, выведенной из закона сохранения энергии. Расчёт был приведён в пункте 2.

Ответ: Расчётное значение максимальной скорости груза составляет $v_{\text{max}} \approx 0.47 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

5. Сделайте вывод по результатам работы.

В ходе лабораторной работы была экспериментально проверена применимость закона сохранения полной механической энергии для системы колеблющегося на пружине груза. На основе измерений статического удлинения пружины ($x_0$) и амплитуды колебаний ($A$) была рассчитана максимальная скорость груза ($v_{\text{max}}$). Это показывает, как, используя фундаментальные законы сохранения, можно определять кинематические характеристики движения, не прибегая к прямому их измерению.

Ответ: В результате работы была рассчитана максимальная скорость колеблющегося на пружине груза с использованием закона сохранения энергии, что подтверждает цель эксперимента.