Номер 5, страница 35, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. С помощью баллистического пистолета выстреливайте шарик под разными углами к горизонту. Сравните дальность и высоту полета при разных углах.

Дано:

Тело (шарик), брошенное с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту.

$v_0$ - начальная скорость шарика (считается постоянной для всех выстрелов).

$\alpha$ - угол броска к горизонту (изменяемая величина).

$\text{g}$ - ускорение свободного падения.

В расчетах пренебрегаем сопротивлением воздуха.

Найти:

Проанализировать и сравнить, как дальность полета $\text{L}$ и максимальная высота подъема $\text{H}$ зависят от угла $\alpha$.

Решение:

Движение шарика в поле тяжести (при отсутствии сопротивления воздуха) представляет собой движение с постоянным ускорением $\text{g}$, направленным вертикально вниз. Это движение можно разложить на два независимых: равномерное движение по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное движение по вертикали (ось Oy).

Проекции начальной скорости на оси координат:

Горизонтальная: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

Вертикальная: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Уравнения движения шарика (зависимость координат от времени $\text{t}$):

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos\alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Анализ дальности полета (L)

Дальность полета — это горизонтальное расстояние, которое пролетит шарик за все время полета $\text{T}$. Время полета можно найти, определив момент времени $T > 0$, когда шарик вернется на начальную высоту, то есть $y(T) = 0$.

$(v_0 \sin\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T \cdot (v_0 \sin\alpha - \frac{gT}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T = 0$ (момент выстрела) и $T = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$ (момент падения).

Теперь подставим полное время полета $\text{T}$ в уравнение для горизонтальной координаты $x(t)$:

$L = x(T) = (v_0 \cos\alpha) \cdot T = (v_0 \cos\alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем формулу для дальности полета:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из этой формулы видно, что дальность полета $\text{L}$ зависит от синуса удвоенного угла броска. Максимальное значение дальности достигается, когда $\sin(2\alpha)$ максимален, то есть $\sin(2\alpha)=1$. Это условие выполняется при $2\alpha = 90^\circ$, следовательно, $\alpha = 45^\circ$.

Также важно отметить, что $\sin(2\alpha) = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2(90^\circ - \alpha))$. Это означает, что дальность полета будет одинаковой для двух углов, которые в сумме дают 90o (например, для углов 30o и 60o ).

Анализ высоты полета (H)

Максимальная высота подъема $\text{H}$ достигается в тот момент времени $t_{под}$, когда вертикальная составляющая скорости шарика становится равной нулю. Найдем это время из уравнения $v_y(t) = v_{0y} - gt = 0$:

$v_0 \sin\alpha - gt_{под} = 0 \implies t_{под} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$

Подставим это время подъема в уравнение для вертикальной координаты $y(t)$:

$H = y(t_{под}) = (v_0 \sin\alpha) \cdot (\frac{v_0 \sin\alpha}{g}) - \frac{g}{2} (\frac{v_0 \sin\alpha}{g})^2 = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

В результате получаем формулу для максимальной высоты подъема:

$H(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Из этой формулы видно, что высота полета $\text{H}$ пропорциональна квадрату синуса угла броска. В диапазоне углов от 0o до 90o , значение $\sin\alpha$ монотонно возрастает от 0 до 1. Следовательно, максимальная высота подъема также монотонно возрастает с увеличением угла броска. Максимальная высота достигается при $\alpha=90^\circ$ (выстрел вертикально вверх).

Сравнение и выводы

1. При увеличении угла от 0o до 45o : увеличивается и дальность полета $\text{L}$, и высота полета $\text{H}$.

2. При угле 45o : дальность полета $\text{L}$ достигает своего максимума.

3. При увеличении угла от 45o до 90o : дальность полета $\text{L}$ начинает уменьшаться, в то время как высота полета $\text{H}$ продолжает увеличиваться.

4. При угле 90o : высота полета $\text{H}$ достигает своего максимума, а дальность полета $\text{L}$ становится равной нулю (шарик падает в точку выстрела).

5. Для углов $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$: дальность полета $\text{L}$ одинакова, но высота полета $\text{H}$ всегда будет больше для большего из этих двух углов.

Ответ: С увеличением угла выстрела от 0o до 90o высота полета монотонно возрастает, достигая максимума при 90o . Дальность полета сначала растет, достигает своего максимума при угле 45o , а затем уменьшается до нуля при 90o . Таким образом, для максимальной дальности следует выбирать угол 45o , а для максимальной высоты — 90o .